Extrauppgifter i Fysik 1!
Här finns relevanta uppgifter från gamla frisläppta provbanksprov, men även en hel del andra bra övningsuppgifter från diverse olika källor. Gemensamt är att de alla motsvarar kursen Fysik 1 och den kommande GY25 kursen Fysik nivå 1b.
Du kan filtrera uppgifter efter Avsnitt, Moment, Taggar och Nivå. Använd filtreringsalternativen ovan och klicka på "Filtrera" för att visa relevanta uppgifter.
Det finns också en fritext sökfunktion som du kan använda ifall du minns någon specifik text från en uppgift, men inte minns var den fanns.
Här följer en något mer detajerad beskrivning av filtreringsmöjligheterna.
| Funktion | Beskrivning |
|---|---|
 |
All text i alla uppgifter är sökbar, ifall du letar efter en specifik uppgift och bara kommer ihåg ett ord i texten. |
 |
Avsnitt är toppen i hierarkin. Följer i stora drag kapitelindelningen i de olika läromedel som finns i kursen. Här kan du också se hur många uppgifter varje Avsnitt har för tillfället. |
 |
Moment är rubrikerna på innehållet i respektive Avsnitt. Endast de Moment som är relevanta för de valda avsnitten visas. Är inget Avsnitt valt visas alla Moment i hela kursen. |
 |
Taggar är ytterlligare en möjlighet att filtrerappgifterna efter några vanligt förekommande begrepp i kursen. |
 |
Nivå är en möjlighet att filtrera uppgifterna efter E,C eller A nivå. |
 |
Filtrera! Klicka på denna då du är nöjd med dina filterval. |
 |
Återställ alla filter och visa denna sida igen. |
 |
Visa/dölj de uppgifter som du har markerat. Tanken med denna funktion är att du kan bocka av de uppgifter som du räknat och är klar med. Men det kanske finns andra anledningar som passar dig bättre. |
 |
Visa alla markerade uppgifter och endast dessa. |
 |
Avmarkera alla markerade uppgifter. Var försiktig med denna om du kommit långt i din repetition! |
 |
Statistik över din progression. |
| g-001 | Skriv $36{,}7\cdot 10^6$ g med SI-enheten för massa på grundpotensform. $\textbf{(1/0/0)}$ | |||||||||
|
||||||||||
|
SI-enheten för massa är kilogram och kilo (k) på 10-potensform blir $10^3$. k $\equiv 10^3$, (uttalas, prefixet k är ekvivalent med 10-potensen $10^3$). Vi får då räkningen. $\begin{align*}
36{,}7\cdot 10^6\textrm{ g}&=36{,}7\cdot 10^3 \cdot 10^3\textrm{ g}=36{,}7\cdot 10^3\textrm{ kg} =3{,}67\cdot 10^4 \textrm{ kg} &&
\end{align*}$
|
||||||||||
| g-002 | Ett klot av bly har volymen 1,4 dm$^3$. Bestäm klotets massa. $\textbf{(1/0/0)}$ | |||||||||
|
||||||||||
|
Densiteten för bly är 11,3 g/cm$^3$, det hittar man på sidan 7 i formelsamlingen. Volymen 1,4 dm$^3=1\,400$ cm$^3$. Massan för klotet ges ur $\begin{align*}
\varrho&=\dfrac{m}{V} \quad \Longrightarrow \quad m=\varrho \cdot V= 11{,}3 \cdot 1\,400 =15{,}82 \textrm{ kg} &&
\end{align*}$
|
||||||||||
| g-003 | Skriv 810 nm utan prefix med lämplig potens. $\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Prefixet n (nano) är ekvivalent med 10-potensen $10^{-9}$. $\begin{align*}
810\textrm{ nm}&= 810\cdot 10^{-9} \textrm{ m} &&
\end{align*}$
detta duger gott, men man skulle kunna skriva på grundpotensform också $\begin{align*}
&=\left(8{,}10 \cdot 10^2\right) \cdot 10^{-9}\textrm{ m}=8{,}10 \cdot 10^{-7}\textrm{ m}
\end{align*}$
|
|||||||||
| g-004 | Vilken sträcka är längst a) eller b)?
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-005 | Längdomvandlingar.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-006 | Areaomvandlingar.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-007 | Volymomvandlingar.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-008 | Massomvandlingar.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-009 | Energiomvandlingar.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-010 | Lös ut $r$, $\lambda$ och $T_{1/2}$ ur följande ekvationer:.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-011 | Bestäm summan av de tre vektorerna nedan till både storlek och rikting. $\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Komposantuppdela de tre krafterna i $x$- respektive $y$-led och beräkna därefter resultanten till det vinkelräta systemet.
Man får följande $$\begin{align*} F_x&=2{,}4-1{,}4\cdot \sin 35^{\circ} - 1{,}9\cdot \sin 30^{\circ}=0{,}65 \textrm{ N} &&\\[10pt] F_y&=1{,}4\cdot \cos 35^{\circ} - 1{,}9\cdot \cos 30^{\circ}=-0{,}50 \textrm{ N} && \end{align*}$$ Detta ger resultant och riktning enligt $$\begin{align*} F_R&=\sqrt{0{,}65^2+(-0{,}50)^2}=0{,}82\textrm{ N}&&\\[10pt] v&=\arctan \left(\dfrac{-0{,}50}{0{,}65}\right)=-37{,}6^{\circ}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| g-012 | Komposantuppdela den givna röda vektorn utmed koordinataxlarna. $\textbf{(1/2/0)}$ | ||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
Komposantuppdelningen ger att $F_x=15{,}32$ N och $F_y=12{,}86$ enligt figuren. |
|||||||||
| g-013 | Ett klot av bly har volymen 1,4 dm$^3$. Bestäm klotets massa.$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Densiteten för bly är 11,3 g/cm$^3$, det hittar man på sidan 7 i formelsamlingen. Volymen 1,4 dm$^3=1\,400$ cm$^3$. Massan för klotet ges ur $$\begin{align*} \varrho&=\dfrac{m}{V} \quad \Longrightarrow \quad m=\varrho \cdot V= 11{,}3 \cdot 1\,400 =15{,}82 \textrm{ kg} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| g-014 | En sten vägde 78 g och då stenen sänktes ned i ett mätglas steg vattenytan med 12 ml. Beräkna stenens densitet i enheten kg/m$^3$.$\textbf{(2/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
På pärmsidan i formelsamlingen finns olika volymomvandlingar, där kan man se att 1 ml $= 10^{-6}$ m$^3$. Det betyder att 12 ml $= 12\cdot 10^{-6}$ m$^3$. Då är volymen i rätt enhet, återstår massan. Det går 1 000 g på 1 kg, alltså motsvaras 78 g av 0,078 kg. Densiteten ges nu av. $$\begin{align*} \varrho&=\dfrac{0{,}078}{12\cdot 10^{-6}}=6\,500 \textrm{ kg/m$^3$} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| g-015 | Diagrammet beskriver massa och volym för ett antal objekt (A-E). Vilket objekt har lägst densitet?$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
| Densitet är givet som $\varrho=\dfrac{m}{V}$. Utan att behöva räkna kan vi direkt se att förbinder vi varje punkt med en linje genom origo, så kommer linjen genom E att ha minst lutning, alltså lägst densitet. | |||||||||
| g-016 | Man smälter samman 24 g zink med 52 g koppar. Bestäm densiteten för den legering man får.$\textbf{(3/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Densiteten för zink är 7,14 g/cm$^3$ och för koppar 8,96 g/cm$^3$, det hittar man på sidan 7 i formelsamlingen. Totala massan för legeringen är $24+52=75$ g. Totala volymen ges av $\dfrac{24}{7{,}14}+\dfrac{52}{8{,}96}$. $$\begin{align*} \varrho_{\textrm{legering}}&=\dfrac{m_{\textrm{tot}}}{V_{\textrm{tot}}} =\dfrac{76}{\dfrac{24}{7{,}14}+\dfrac{52}{8{,}96}}=8{,}29 \textrm{ g/cm$^3$} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| g-017 | Tabellen nedan visar massan och volymen för 9 olika mängder kopparnubb. Plotta värdena i grafen och bestäm med hjälp av dina plottade värden densiteten för koppar. $\textbf{(1/2/0)}$ Ännu bättre blir det om du använder GeoGebra/Excel och bestämmer densiteten genom att infoga en trendlinje. Bifoga eventuella dokument du använt. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
Mata in värdena i Excel, kom ihåg att Excel hanterar den första kolumnen till vänster som $x$-värden. Sätt alltså volymen i kolumn A och massan i kolumn B. Välj lägg till trendlinje och visa dess ekvation. Välj också att linjepassningen skall tvingas genom origo.  Densiteten mäts upp till $\varrho_{\textrm{Cu}}=8{,}93$ g/cm$^3$ |
|||||||||
| g-018 | Avrunda följande tal till det antal värdesiffror som står angivet i parentes. | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-019 | Hur många värdesiffror har följande mätvärden? Ange minsta möjliga. | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| g-020 | Ett föremål har volymen $9{,}5 \pm 0{,}1$ cm$^3$ och densiteten $1{,}3 \pm 0{,}1$ g/cm$^3$.$\textbf{(1/1/0)}$ Beräkna massan och ange svaret med felmarginal. |
||||||||
|
|||||||||
|
Massan ges av $m=\varrho V$. Beräkna den största möjliga massan givet dessa felmarginaler och den minsta möjliga massan. $$\begin{align*} m_{\textrm{max}}&=1{,}4\cdot 9{,}6=13{,}44 \textrm{ g} &&\\[5pt] m_{\textrm{min}}&=1{,}2\cdot 9{,}4=11{,}28 \textrm{ g} && \end{align*}$$ Så nu vet mellan vilka gränser som massan kan variera givet dessa felmarginaler. Återstår att skriva detta intervall som en felmarginal. Dvs. hitta mittvärdet/medelvärdet och ''avståndet'' till ytterligheterna! $$\begin{align*} \dfrac{m_{\textrm{max}}+m_{\textrm{min}}}{2}&=\dfrac{13{,}44+11{,}28}{2}=12{,}36\\ 13{,}44-12{,}36&=1{,}08&&\\[5pt] 12{,}36-11{,}28&=1{,}08&& \end{align*}$$ Nu har vi även felgränsen och kan skriva svaret med felmarginal. $$\begin{align*} m&=12{,}36 \pm 1{,}08 \textrm{ g} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| g-021 | Du vill bestämma en vätskas densitet. Du ställer därför ett tomt mätglas på en våg som då visar 52,9 g. $\textbf{(1/0/0)}$ Efter det häller du i 75 cm$^3$ av vätskan i mätglaset och vågen visar då 125,3 g. Vilken densitet har vätskan? |
||||||||
|
|||||||||
|
Massan av vätskan är $m=125{,}3-52{,}9=72{,}4$ g. Volymen är $V=75$ cm$^3$. Densiteten ges av $$\begin{align*} \varrho&=\dfrac{m}{V}=\dfrac{72{,}4}{75}=0{,}965 \textrm{ g/cm$^3$}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-001 | En curlingsten skjuts iväg och stannar efter 14 s då den glidit 25 m. $\textbf{(1/1/0)}$ Vilken var stenens utgångshastighet? |
||||||||
|
|||||||||
|
Deaccelerationen fås ur definitionen, dvs. $\begin{align*}
a&=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=-\dfrac{v_0}{14}&&
\end{align*}$
Använder vi sedan sträckformel 2 kan $v_0$ bestämmas. $\begin{align*}
s&=v_0t+\dfrac{at^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad 25=v_0\cdot 14 - \dfrac{\dfrac{v_0}{14}\cdot 14^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad v_0=\dfrac{25}{7}\approx 3.6\textrm{ m/s}&&
\end{align*}$
Prova också att rita en vt-graf, det blir nästan ännu tydligare. Arean av den triangel som representerar rörelsen ger då svaret direkt!  Arean motsvarar sträckan i en $vt$-graf. Alltså $\begin{align*}
25&=\dfrac{14\cdot v_0}{2} \quad \Longrightarrow \quad v_0\approx 3.6\textrm{ m/s}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| r-002 | En bil med hastigheten 90 km/h kör om en annan bil som håller hastigheten 72 km/h. $\textbf{(1/1/0)}$ Hur länge dröjer det innan den snabbare bilens försprång är 1 km? |
||||||||
|
|||||||||
|
Skillnad i hastighet mellan de båda bilarna är $90 - 72=18$ km/h $= 5$ m/s. Med denna hastighet närmar sig den bakomvarande bilen. Tiden detta tar ges av. $\begin{align*}
s&=v\cdot t &&\\
t&=\dfrac{s}{v}=\dfrac{1\,000}{5}=200 \textrm{ sekunder}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| r-003 | En gevärskula skjuts lodrätt uppåt. Utgångshastigheten är 240 m/s. $\textbf{(2/1/0)}$ Var befinner sig kulan 30 sekunder efter starten? Är kulan på väg uppåt eller nedåt? |
||||||||
|
|||||||||
|
Formeln för hastighet vid konstant acceleration. Positiv hastighet uppåt innebär att $a=-g=-9{,}82$ m/s. $\begin{align*}
v&=v_0+at&&\\
v&=240+(-9{,}82)\cdot 30=-54{,}6 \textrm{ m/s}&&
\end{align*}$
Kulan är alltså på väg nedåt. 2:a sträckformeln ger positionen vid $t=30$. $\begin{align*}
s&=v_0t+\dfrac{at^2}{2}=240\cdot 30 +\dfrac{-9{,}82\cdot 30^3}{2}=2\,781 \approx 2\,800 \textrm{ m}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| r-004 | En fladdermus ger ifrån sig ljud som människor inte kan höra, så kallatultraljud. $\textbf{(2/0/0)}$ Ljudet reflekteras mot ett byte och fladdermusen mottar ekot efter 0,20 s. Ljudets hastighet i luft är 340 m/s. Hur stort är avståndet till bytet? |
||||||||
|
|||||||||
|
Att fladdermusen mottar ekot efter 0,20 s betyder att det är tiden det tar för ljudet att färdas fram och tillbaka mellan fladdermusen och bytet, dvs. dubbla sträckan. Så det sökta avståndet ges av $\begin{align*}
s&=v\cdot t=340\cdot \dfrac{0{,}20}{2}=34 \textrm{ m}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| r-005 | En pojke hoppar från en bro. De sista 4 meterna innan pojken slår i vattnet tar 0,2 s.$\textbf{(0/1/2)}$ Hur hög var bron? Vi bortser från luftmotstånd.  Stari most, gamla bron över floden Neretva i Mostar. |
||||||||
|
|||||||||
|
Börja exempelvis med att beräkna medelhastigheten för pojken under sista 4 meterna. $\begin{align*}
\bar{v}&=\dfrac{s}{t}=\dfrac{4}{0{,}2}=20 \textrm{ m/s}&&
\end{align*}$
Sluthastigheten $v_s$ då pojken slår i vattnet blir den där medelhastigheten för de sista 4 meterna plus en likformigt accelerarad hastighet under 0,1 sekunder.  $\begin{align*}
v_s&=\bar{v}+gt=20+9{,}82\cdot 0{,}1=21 \textrm{ m/s}&&
\end{align*}$
När vi nu vet sluthastigheten $v_s$ kan falltiden $t_f$ beräknas och därefter fallhöjden. $\begin{align*}
v_s&=gt_f\quad \Longrightarrow \quad t_f=\dfrac{v_s}{g}=\dfrac{21}{9{,}82}\approx 2{,}14 \textrm{ s}&&\\
s&=\dfrac{gt_f^2}{2}=\dfrac{9{,}82\cdot 2{,}14^2}{2}=22{,}41569878\approx22\textrm{ m}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| r-006 | Två flygplan A och B följer samma rutt mellan två flygplatser. Det ena planet har medelhastigheten 520 km/h, det andra 650 km/h. Plan A använder 30 min kortare tid än plan B.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-007 | I OS-finalen i Sydney på 100 m fick Ato Boldon tiden 9,99 s i finalen på 100 m. $\textbf{(1/1/0)}$ Segertiden för Maurice Green blev 9,87 s. En tidning beräknade att Ato Boldon var 1,2 m från guldet. Hur kan de ha kommit fram till det? |
||||||||
|
|||||||||
|
Hur långt hade Ato Boldon kommit i 100m-loppet då Maurice Green var i mål? Boldon's medelhastighet blir $$\begin{align*} \bar{v}&=\dfrac{s}{t}=\dfrac{100}{9{,}99}=10{,}01001 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Med den hastigheten hade han hunnit följande sträcka när Green passerade mållinjen $$\begin{align*} s&=v\cdot t=10{,}01001\cdot 9{,}87=98{,}8 \textrm{ m}&& \end{align*}$$ Det stämmer alltså, under antagandet att medelhastigheten är representativ för hela loppet, att Boldon hade 1,2 m kvar när Green passerade mållinjen. |
|||||||||
| r-008 | En bil accelererar på 3:ans växel från 50 km/h till 80 km/h på tiden 6,0s.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-009 | En skidåkare åker utför en 135 m lång backe på 15,0 s. Förutsätt att utgångshastigheten är noll, och att accelerationen är konstant.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-010 | Vi släpper en sten från en bro. Stenen träffar vattnet 3,2 s senare.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-011 | En vagn rullar nerför ett lutande plan. När den 1,0 cm breda pinnen passerar fotoceller vid A och B, $\textbf{(0/3/0)}$ registreras passertiden elektroniskt. Pinnen behöver 38,0 ms för att passera A och 26,5 ms för att passera B. Avståndet AB är 1,10 m. Beräkna vagnens acceleration.  |
||||||||
|
|||||||||
|
Hastigheten ges av den tid som pinnen skymmer ljuset $$\begin{align*} v_A&=\dfrac{s}{t}=\dfrac{0{,}010}{0{,}0380}=0{,}2632 \textrm{ m/s}&&\\[10pt] v_B&=\dfrac{0{,}010}{0{,}0265}=0{,}3773 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Detta är en rörelse med konstant acceleration och här kommer den tidlösa formeln väl till pass. $$\begin{align*} 2as&=v^2-v_0^2 &&\\[5pt] a&=\dfrac{v^2-v_0^2}{2s}=\dfrac{0{,}3773^2-0{,}2632^2}{2\cdot 1{,}10}=0{,}033 \textrm{ m/s$^2$}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-012 | En sprinter på 100 m har konstant acceleration i 2,0 s efter starten och därefter konstant hastighet till$\textbf{(0/3/0)}$ mållinjen. Tiden blir 10,8 s. Beräkna hastigheten vid mållinjen. |
||||||||
|
|||||||||
Återigen blir det tydligt i ett $vt$-diagram. Arean under grafen motsvarar sträckan 100 m. Med beteckningarna får vi sambandet $$\begin{align*} s&=\dfrac{v\cdot 2{,}0}{2} + v(10{,}8-2{,}0)=100 \textrm{ m}&&\\[10pt] v&=\dfrac{100}{1+8{,}8}=10{,}2 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-013 | Arne startar sin bil och ökar därefter hastigheten med en konstant acceleration på 0,80 m/s$^2$. Anita startar från samma ställe på motorcykel och följer efter 6,0 s senare. Anita har en konstant acceleration på 1,8 m/s$^2$. (Ingen av dem passerar hastighetsbegränsningen på 80 km/h)
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-014 | Vi kastar en boll lodrätt uppåt så att bollen stiger 5,0 m innan den vänder. Bortse från luftmotståndet.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-015 | En pojke blir påkörd på ett ljusreglerat övergångsställe. Vittnen uppger att pojken gick$\textbf{(0/2/0)}$ ut på övergångsstället så snart han fått grönt sken. Bilisten hävdar att hon höll hastighetsbegränsningen på 50 km/h och tryckte på bromsen så snart ljuset skiftade från grönt till gult. Värdera bilistens påstående utifrån följande upplysningar:
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-016 | Bobby är ute och drar lillasyster Peggy i en barnvagn. I en nerförsbacke stannar han och låtsas tappa$\textbf{(0/2/0)}$ vagnen. Vagnen med den jublande lillasystern får accelerationen 0,50 m/s$^2$. Bobby kan springa med 8,0 m/s för att hinna ifatt vagnen. Hur länge kan Bobby stå stilla innan han sätter efter vagnen för att leken inte ska bli allvar? Förutsätt att Bobby håller konstant hastighet. Ledtråd: sätt upp formeln för sträckan för Bobby och barnvagnen vid tiden $t$ efter att vagnen startat. |
||||||||
|
|||||||||
|
Bobby måste fånga Peggy innan hon kommer upp i hastigheten 8 m/s. Tiden det tar för Peggy att accelerara till denna hastighet ges av $$\begin{align*} v&=v_0+at&&\\[5pt] 8&=0 + 0{,}50t &&\\[5pt] t&=16 \textrm{ s}&& \end{align*}$$ På 16 sekunder tillryggalägger Peggy sträckan $$\begin{align*} s&=v_0t+\dfrac{at^2}{2}=0+\dfrac{0{,}50\cdot 16^2}{2}=64 \textrm{ m}&& \end{align*}$$ Bobby springer direkt med hastigheten 8 m/s. Han behöver då tiden $t_B$ för att tillryggalägga 64 m $$\begin{align*} t_B&=\dfrac{64}{8}=8 \textrm{ s}&& \end{align*}$$ Alltså kan Bobby vänta maximalt $16-8=8$ sekunder innan han måste börja springa. |
|||||||||
| r-017 | En sten släpps från ett hustak och faller fritt lodrätt neråt. På sin väg använder den 0,10 s för att passera$\textbf{(0/1/2)}$ ett 2,0 m högt fönster. Hur långt föll stenen innan den nådde fönstret? |
||||||||
|
|||||||||
Exakt samma typ av uppgift som uppgift r-005 ovan med brohopparen! Den lösningsmetoden funkar såklart bra, men ett alternativ vore att använda tidlösa formeln i kombination med formeln för hastigheten vid konstant acceleration. Ur figuren ovan får vi nu följande $$\begin{align*} 2as&=v_1^2-v_0^2 \quad \textrm{och}\quad v_1=v_0+at_1 && \end{align*}$$ Accelerationen, i detta fall, är tyngdaccelerationen $g=9{,}82$ m/s$^2$. Vi får då ekvationen $$\begin{align*} 2gs&=(v_0+gt_1)^2-v_0^2=v_0^2+2v_0gt_1+g^2t_1^2-v_0^2 && \end{align*}$$ Omskrivning och förenkling $$\begin{align*} 2s&=2v_0t_1+gt_1^2 &&\\[10pt] 2\cdot 2{,}0&=2v_0\cdot0{,}10 + 9{,}82\cdot 0{,}10^2 &&\\[10pt] v_0&=19{,}509 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Vid fönstrets övre kant hade stenen hastigheten $v_0=19{,}509$ m/s. Tiden som det tar för en fritt fallande sten att komma upp i den hastigheten ges av $$\begin{align*} t&=\dfrac{v}{g}=\dfrac{19{,}509}{9{,}82}=1{,}9867 \textrm{ s}&& \end{align*}$$ Sträckan kan nu beräknas enligt $$\begin{align*} s&=\dfrac{gt^2}{2}=\dfrac{9{,}82\cdot 1{,}9867^2}{2}=19{,}38 \approx 19 \textrm{ m}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-018 | En dimmig dag kör ett expresståg med hastigheten 108 km/h längs en lång raksträcka. $\textbf{(0/0/3)}$ Plötsligt upptäcker lokföraren ett godståg 300 m lägre fram. Godståget håller toppfarten 54 km/h i samma riktning som expresståget. Lokföraren slår genast till bromsarna som kan stanna expresståget på 900 m. Vi förutsätter att accelerationen är konstant. Visa att tågen inte kolliderar. Beräkna det minsta avståndet mellan tågen. Du kan lösa uppgiften med hjälp av $st$-grafer eller beräkning. |
||||||||
|
|||||||||
|
Expresståget har starthastigheten $$\begin{align*} 108 \textrm{ km/h}&=\dfrac{108}{3{,}6}=30 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ och håller under inbromsningen medelhastigheten $$\begin{align*} \bar{v}&=\dfrac{30+0}{2}=15 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Inbromsningstiden för expresståget blir $$\begin{align*} t&=\dfrac{s}{\bar{v}}=\dfrac{900}{15}=60 \textrm{ s}&& \end{align*}$$ Accelerationen för expresståget under inbromsningen blir $$\begin{align*} a&=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{0-30}{60}=-0{,}5 \textrm{ m/s$^2$}&& \end{align*}$$ Expresståget kommer att närma sig godståget så länge det har högre hastighet än godståget. När tågen sedan har samma fart (15 m/s) så är avståndet mellan tågen minimalt. Tiden det tar för expresståget att minska sin fart till 15 m/s är $$\begin{align*} t&=\dfrac{\Delta v}{a}=\dfrac{15-30}{-0{,}5}=30 \textrm{ s}&& \end{align*}$$ Efter 30 sekunder har expresståget rört sig sträckan $$\begin{align*} s_{\textrm{e}}&=\bar{v}\cdot t=\dfrac{30+15}{2}\cdot 30= 675 \textrm{ m}&& \end{align*}$$ På samma tid har godståget rört sig sträckan $$\begin{align*} s_{\textrm{g}}&=15\cdot 30=450 \textrm{ m}&& \end{align*}$$ Expresståget har alltså rört sig $675-450=225$ m längre än godståget. Eftersom avståndet var 300 m så är avståndet nu $300 - 225=75$ m. Tågen kolliderar ej! Alternativt kan vi rita en $vt$-graf över situationen  Tågen kör med samma hastighet efter 30 sekunder, då har expresståget färdats 225 m längre än godståget (som har färdats 450 m). Det var 300 m mellan tågen när expresståget började sin inbromsning, nu är det då $300 - 225=75$ m mellan tågen. |
|||||||||
| r-019 | Du kör en bil i 70 km/h när en älg kliver ut på vägen 50 m framför bilen. Bilens maximala $\textbf{(1/1/0)}$ retardation ar 6,0 m/s$^2$ och tiden det tar innan du börjar bromsa är 0,50 s. Hinner bilen stanna innan den når fram till älgen? |
||||||||
|
|||||||||
|
Efter reaktionsfasen på 0,5 s har man en bromsfas med konstant deacceleration på $a=-6$ m/s$^2$. Tiden det tar för bilen att bromsa från $v_0=70$ km/h $=\frac{70}{3{,}6}=19{,}4$ m/s till 0 fås ur $$\begin{align*} v&=v_0+at_b && \end{align*}$$ tiden $t_b$ kan tecknas som $$\begin{align*} t_b&=\dfrac{v_0}{a}=\dfrac{19,4}{6}=3,24 \textrm{ s} && \end{align*}$$ Sträckformel 2 ger nu svaret enligt följande. Stoppsträckan ges av reaktionssträckan + bromssträckan. Vi får $$\begin{align*} s_{\textrm{stopp}}&=s_{\textrm{rektion}}+s_{\textrm{broms}}=v_0\cdot 0{,}5 + \dfrac{t_b\cdot v_0}{2}\\ &=v_0\cdot 0{,}5 + \dfrac{v_0^2}{2a}=\dfrac{70}{3{,}6}\cdot 0{,}5 + \dfrac{\left(\frac{70}{3{,}6}\right)^2}{2\cdot 6}\approx 41 \textrm{ m (41{,}229...)} \end{align*}$$ Älgen klarar sig!  |
|||||||||
| r-020 | En boll skjuts iväg rakt uppåt med 7,0 m/s.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-021 | Vid de olympiska spelen i Aten 2004 vann Julija Nesterenko 100 m-finalen för damer på tiden 10,93 s. Herrarnas final vanns av Justin Gatlin på tiden 9,85 s.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-022 | En bil står först still vid ett trafikljus. Trafikljuset slår om till grönt och bilen $\textbf{(1/1/0)}$ accelererar under 3.0 s med 5.0 m/s$^2$ och kör sedan med konstant hastighet i 4.0 s. Efter det bromsar den in med 3.0 m/s$^2$ för att kunna stanna vid nästa trafikljus. Hur långt är det mellan trafikljusen? |
||||||||
|
|||||||||
En $vt$-graf är alltid bra. Vi söker den grönmarkerade arean som då motsvarar sträckan mellan trafikljusen.  Grafens utseende fås ur följande resonemang och räkningar. Den konstanta hastigheten som bilen håller fås ur $$\begin{align*} v&=v_0 +at=0+5\cdot 3=15 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Tiden för inbromsningen ges på motsvarande sätt av $$\begin{align*} 0&=15+3\cdot t&&\\[5pt] t&=5\textrm{ s}&& \end{align*}$$ Summera ihop områdena $$\begin{align*} s&=\dfrac{15\cdot 3}{2} + 15\cdot 4+\dfrac{15\cdot 5}{2}=120\textrm{ m}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-023 | En bil är inblandad i en olycka på en väg där hastighetsbegränsningen är 90 km/h. Föraren menar att$\textbf{(1/1/0)}$ hen höll hastighetsbegränsningen. En trafikkamera har fångat förloppet och under 6,0 sekunder rör sig bilen 150 m vilket inkluderar en tvärbromsning ner till stillastående. Bromsspåren är 30 m långa. Höll hen hastigheten, om inte, vilken hastighet höll bilen? |
||||||||
|
|||||||||
|
Uppgiften kan lösas analytiskt genom att ''blint'' jobba med rörelselagarna. Det är en bra algebraisk övning absolut, men knappast optimal metod i detta fallet. Hur som helst, såhär kan det gå till. Vi vet att bilen kör med en konstant hastighet $v_0$ under tiden $t_1$, därefter sker tvärbromsningen under tiden $6-t_1$ och sträckan 30 m. Vi vet också att $v_0 t_1=120$ m. $$\begin{align*} v&=v_0 +at&&\\ s&=v_0t_1+\dfrac{at^2}{2} && \end{align*}$$ med våra kända data får vi $$\begin{align*} 0&=v_0-a(6-t_1) \quad \Longrightarrow a=\dfrac{v_0}{6-t_1}&&\\ 150&=v_0t_1-\dfrac{a(6-t_1)^2}{2} = 120 -\dfrac{a(6-t_1)^2}{2}=120-\dfrac{v_0}{2}(6-t_1)&& \\ 60&=6v_0-v_0t_1=6v_0-120 &&\\ v_0&=\dfrac{180}{6} =30 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Prova också att rita en vt-graf, det blir nästan alltid ännu tydligare. Den grönmarkerade arean representerar den färdade sträckan om 150 m på 6 sekunder.  Enklast utvidgar vi grafen med den röda triangeln och ser då omedelbart att arean under de 6 sekunderna OM hastigheten vore $v_0$ hela tiden hade varit $120+30+30=180$ m. På 6 sekunder ger detta direkt. $$\begin{align*} v_0&=\dfrac{180}{6}=30\textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-024 | Peter kör bil mellan två städer flera tillfällen per år. Den första halvan av sträckan är $\textbf{(0/2/2)}$ fartbegränsad till 60 km/h och den andra halvan av sträckan fartbegränsad till 80 km/h. Peter tror att om han i stället håller farten 70 km/h hela sträckan så kommer det att ta lika lång tid som om han håller fartgränserna. Till sin förvåning visar det sig att det tar 3 minuter längre tid att köra lagligt. Hur långt är det mellan de två städerna? |
||||||||
|
|||||||||
|
Ställ upp en ekvation för tiden. Den tid det tar att hålla rätt fart mellan städerna skall ju vara lika stor som om han kör konstant med 70 km/h + 3 minuter! $$\begin{align*} s&=vt \quad \Longrightarrow \quad t=\dfrac{s}{v} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{0{,}5s}{60}+\dfrac{0{,}5s}{80}=\dfrac{s}{70}+\dfrac{1}{20}&& \end{align*}$$ Eftersom jag valt att behålla km/h som hastighet får jag skriva om de 3 minuterna som timmar och det motsvarar ju 1/20 dels timma. Lite algebra ger $$\begin{align*} \dfrac{40s+30s}{60\cdot 80}&=\dfrac{20s+70}{20\cdot 70}&& \end{align*}$$ Korsvis multiplikation. $$\begin{align*} 1\,400\cdot 70s&=4\,800(20s+70)&&\\[5pt] 98\,000s&=96\,000s+336\,000&&\\[5pt] 2\,000s&=336\,000 \quad \Longrightarrow \quad s=168 \textrm{ km}&& \end{align*}$$ OBS! km eftersom jag behållit hastighetsenheten km/h. |
|||||||||
| r-025 | Låt $s$ vara sträckan i meter, $t$ tiden i sekunder och $g$ tyngdaccelerationen. För fritt fall gäller då formeln nedan. $\textbf{(0/0/3)}$ $$\begin{equation*} s=\dfrac{gt^2}{2} \end{equation*}$$ En sten släpps ned i en brunn och plaskljudet då stenen träffar vattenytan hörs 3 sekunder senare. Antag att ljudhastigheten är 340 m/s och beräkna avståndet ned till vattenytan i brunnen. |
||||||||
|
|||||||||
|
Börja med att skriva upp vad vi vet om sträckor och tider. Falltiden för stenen ges av $$\begin{align*} s&=\dfrac{gt_1^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad t_1=\sqrt{\dfrac{2s}{g}}&& \end{align*}$$ Tiden för ljudet att återvända upp ur brunnen ges av. $$\begin{align*} s&=340\cdot t_2 \quad \Longrightarrow \quad t_2=\dfrac{s}{340}&& \end{align*}$$ Summan av dessa tider vet vi skall vara 3 sekunder, alltså $$\begin{align*} t_1+t_2&=3&&\\ \sqrt{\dfrac{2s}{g}}+\dfrac{s}{340}&=3&& \end{align*}$$ Möblera om och kvaderera för att få bort roten! $$\begin{align*} \dfrac{2s}{g}&=\left(3-\dfrac{s}{340}\right)^2&&\\ \dfrac{2s}{g}&=9-\dfrac{6s}{340}+\dfrac{s^2}{340^2} \end{align*}$$ Omskrivet på pq-formen får man. $$\begin{align*} s^2&-340^2\left(\dfrac{6}{340}+\dfrac{2}{g}\right)\cdot s+9\cdot 340^2=0 \end{align*}$$ Vi får en 2:a grads ekvation i $s$ med två lösningar varav en förkastas ($s=25\,543$, kom ihåg att vi ursprungligen har löst en rotekvation och då måste lösningarna testas!). Lösningen $s=40.7$ m ger det korrekta djupet av brunnen. Man skulle också kunna skriva $t_2=3-t_1$ och utnyttja att sträckorna är lika för både det fria fallet och ljudet på vägen upp. $$\begin{align*} \dfrac{gt_1^2}{2}&=340\cdot (3-t_1)&&\\[5pt] \dfrac{gt_1^2}{2}+340t_1-340\cdot 3&=0&&\\[5pt] t_1^2+\dfrac{680}{9{,}82}-\dfrac{2\cdot 3\cdot 340}{9{,}82}&=0&& \end{align*}$$ Detta ger lösningen $t_1=2{,}8802$ s, vilket insatt i $$\begin{align*} s&=\dfrac{gt_1^2}{2}=\dfrac{9{,}82\cdot 2{,}8802^2}{2}=40{,}7 \text{ m}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-026 | Hastigheten $v$ hos en kropp varierar med tiden $t$ såsom diagrammet visar.$\textbf{(0/2/0)}$ Hur stor är medelhastigheten under de första 7 sekunderna? |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Den sökta sträckan ges av arean under funktionen i grafen. Räkna rutor, eller använd geometriformler för att bestämma arean. Medelhastigehten blir. $$\begin{align*} \bar{v}&=\dfrac{20{,}5}{7}=2{,}9 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$  |
|||||||||
| r-027 | Studera $st$-graferna nedan. Bestäm hur hastigheten varierar med tiden i varje ögonblick.$\textbf{(2/0/0)}$ |
||||||||
|
|||||||||
Kurvans lutning i $st$-graferna är hastigheten.
|
|||||||||
| r-028 | Figuren visar $vt$-grafen för ett tåg som bromsar. Beräkna accelerationen och bromssträckan.$\textbf{(2/0/0)}$ |
||||||||
|
|||||||||
|
Kurvans lutning i $vt$-grafen är accelerationen. $$\begin{align*} a&=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{-30}{50}=-0{,}6 \textrm{ m/s$^2$}&& \end{align*}$$ Alltså en deacceleration eller inbromsning med 0,60 m/s$^2$. Bromssträckan ges av arean under grafen. $$\begin{align*} s&=\dfrac{30\cdot 50}{2}= 750 \textrm{ m}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| r-029 | Tre av diagrammen kan beskriva en och samma rörelse. Vilka tre?$\textbf{(2/0/0)}$ |
||||||||
|
|||||||||
Följande tre passar ihop och kan beskriva en rörelse. |
|||||||||
| r-030 | En bil kör på en rak väg. Bilen startar från stillastående vid tidpunkten $t = 0$. $\textbf{(2/0/0)}$ Accelerationen varierar med tiden enligt diagrammet. Vid vilken av de markerade tidpunkterna är hastigheten högst?  |
||||||||
|
|||||||||
Så länge accelerationen är positiv så ökar hastigheten, vilket innebär att den maximala hastigheten uppnås vid $t_2$. |
|||||||||
| r-031 | I ett experiment går Moa framför en ultraljudsgivare så att hennes rörelse registreras. Hon befinner sig$\textbf{(1/0/0)}$ från början vid punkten R i figuren och står stilla där en stund. Sedan flyttar hon sig längs med linjen till P och stannar där en stund. Därefter går hon snabbt tillbaka till Q, vilar där en stund och återvänder sedan långsamt till R. Vilken av graferna nedan beskriver bäst rörelsen?  |
||||||||
|
|||||||||
|
Lägeskoordinaten är alltid positiv (kvar B och D). Moa går snabbt till Q och långsamt
tillbaka till R vilket medför först en brantare lutning och sedan en mindre lutning Svar: Alternativ B |
|||||||||
| r-032 | Grafen visar hastigheten för en bil som funktion av tiden.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-033 | En vagn startar vid P och rör sig längs linjen P-Q. Grafen visar vagnens hastighet $(v)$ som funktion av tiden $(t)$.
|
||||||||
|
|||||||||
 |
|||||||||
| r-034 | En boll kastas rakt uppåt och faller sedan tillbaka till jorden. Vilken av följande grafer $\textbf{(1/0/0)}$ visar dess hastighet som funktion av tiden? Luftmotståndet försummas.  |
||||||||
|
|||||||||
| Graf iii) visar en korrekt funktion. Hastighetsminskningen (accelerationen) är konstant med $g$ över tid. | |||||||||
| r-035 | En bil är först stilla och accelererar sedan enligt nedanstående graf. Vilken är bilens hastighet efter 5.0 s? $\textbf{(2/0/0)}$ |
||||||||
|
|||||||||
| Arean under en $at$-graf motsvaras av hastigheten. Alltså $v=2\cdot 3+4\cdot 2=14$ m/s | |||||||||
| r-036 | Vid ett biltest startar en bil från vila och kör utan att vända längs en vägsträcka. Med en så kallad accelerometer mäter man bilens acceleration. Grafen visar, något förenklat, bilens acceleration $a$ som funktion av tiden $t$ efter starten.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-037 | Diagrammet visar hastigheterna för en Saab och en Volvo som färdas åt samma håll på en tvåfilig genomfartsgata. Vid tiden $t = 0$ befinner sig båda bilarna precis vid ett trafikljus som just då slår om till grönt ljus. Tjugo sekunder senare passerar Saaben en vägkorsning. Grafen visar, något förenklat, bilens acceleration $a$ som funktion av tiden $t$ efter starten.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| r-038 | Grafen nedan visar en trafiksituation där två bilar, A och B, passerar samma stoppljus. Utläs och beräkna så mycket intressant fysikalisk information du kan ur grafen, t.ex. bilarnas acceleration. Väv in dina beräkningar i en kort historia.  |
||||||||
|
|||||||||
Exempel på vad som kan ingå i historien:
|
|||||||||
| k-001 | Två krafter på 8,0 N respektive 5,0 N bildar vinkeln 42$^{\circ}$ med varandra. $\textbf{(1/1/0)}$ Bestäm den resulterande kraften.  |
||||||||
|
|||||||||
|
Komposantuppdela 5 N kraften i $x$- respektive $y$-led och addera $x$-komposanten till 8 N kraften. Därefter pythagoras och trigonometri. $\begin{align*}
F_x&=8+5\cdot \cos 42^{\circ}&&\\[5pt]
F_y&=5\cdot \sin 42^{\circ}&&\\[5pt]
F_R&=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=12{,}2\textrm{ N}&&\\[5pt]
v&=\arctan\left(\dfrac{F_y}{F_x}\right)=15{,}9^{\circ} &&
\end{align*}$
|
|||||||||
| k-002 | Allvarliga olyckor kan inträffa när personer åker pulka i slalombackar.$\textbf{(1/0/0)}$ Enligt ordföranden i Svenska liftanläggningars organisation kommer ett pulkaekipage i en sådan backe lätt upp i hastigheten 50 km i timmen. "Vid en kollision i den hastigheten utsätts en pulkåkare för en kraft på cirka fem ton" påstår han i en artikel i Uppsala Nya Tidning i februari 1999. Ordföranden använder ett vardagligt, "icke-fysikaliskt", sätt att uttrycka sig. Hur skulle han ha sagt för att det ska vara fysikaliskt korrekt? | ||||||||
|
|||||||||
|
Ett mer fysikaliskt korrekt sätt att uttrycka sig vore: ''Pulkaåkaren utsätts för kraften 50 000 N'' eller ''Pulkaåkaren utsätts för en kraft som är lika stor som tyngdkraften på massan 5 ton.'' |
|||||||||
| k-003 | Kalle och Harald diskuterar vems bil som är starkast. Eftersom tvisten inte kan lösas med ord beslutar$\textbf{(0/0/1)}$ de att tävla i dragkamp med bilarna. I första omgången blir det oavgjort. Båda bilarna står och slirar men ingen rör sig framåt. Kraftsituationen är då som bilden nedan visar.  Kalle, som inte alltid spelar med öppna kort, tänker: ''Till nästa gång lägger jag en tyngd på Haralds bil. Då måste jag vinna.'' Vilken av bilderna nedan visar bäst kraftsituationen efter Kalles tilltag?  |
||||||||
|
|||||||||
|
Alternativ B är korrekt! Kommentar: Inget vidare smart tilltag av Kalle, som uppenbarligen inte har koll på herr Newtons kraftlagar ;-) När Haralds bil blir tyngre ökar också friktionskraften mellan bilens däck och vägen (bilen får bättre fäste helt enkelt) $F_f=\mu \cdot F_N$. Detta eftersom normalkraften är lika stor som tyngdkraften på horisontella underlag. Observera att spännkraften i vajern mellan bilarna är lika stor i båda riktningarna oavsett om bilarna står och slirar på stället eller om den ena ''vinner'' och drar med sig den andra! Tredje lagen om kraft och motkraft. Så direkt kan man faktiskt stryka A,C och E. |
|||||||||
| k-004 | En 80 kg tung fallskärmshoppare som ännu inte utlöst sin fallskärm, faller med utsträckta armar med konstant fart. Han önskar ''komma ikapp'' en annan hoppare under sig och drar därför in armarna till sidan för att minska på luftmotståndet. Med armarna längs sidan är hans acceleration till en början 1.8 m/s$^2$.
 |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| k-005 | Två föremål påverkar varandra med gravitationskraften 0,37 nN. Det ena föremålets massa är 1,1 kg $\textbf{(1/0/0)}$ och avståndet mellan föremålens masscentrum är 1,0 dm. Hur stor är det andra föremålets massa? |
||||||||
|
|||||||||
|
Gravitationslagen $F=G\cdot \dfrac{m_1\cdot m_2}{r^2}$ ger oss $$\begin{align*} 0{,}37\cdot 10^{-9}&=6{,}673\cdot 10^{-11}\cdot \left(\dfrac{1{,}1\cdot m_2}{0{,}1^2}\right) &&\\[5pt] m_2&=\dfrac{0{,}37\cdot 10^{-9}\cdot 0{,}1^2}{6{,}673\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}1}=50 \textrm{ g} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-006 | Du vill bestämma vilken acceleration en hiss har då den startar och då den stannar. Du tar din badrumsvåg och åker upp med hissen. Då hissen startar visar vågen 69 kg, vid mitten av färden, då hissen har en konstant hastighet, visar den 60 kg och mot slutet visar den 50 kg. Beräkna hissens acceleration
|
||||||||
|
|||||||||
Då hissen färdas med konstant fart gäller tröghetslagen (Newtons 1a lag). Om vågen då visar 60 kg så väger du 60 kg. Kraftsituationen ser då ut enligt. Vid start accelererar hissen uppåt. Krafterna på vågen blir då 
|
|||||||||
| k-007 | En vagn med massan 2,0 kg rullar nedför ett underlag som lutar $20^{\circ}$. En konstant friktionskraft på 4,0 N $\textbf{(2/1/0)}$ motarbetar rörelsen nedför planet. Hur stor är den resulterande kraften på vagnen? |
||||||||
|
|||||||||
|
Den resulterande kraften på vagnen är skillnaden mellan tyngdkraftens komposant utmed den lutande planet, $F_1$ och den konstanta friktionskraften $F_f$. $$\begin{align*} F_R&=F_1-F_f=2g\sin 20^{\circ}-4=2{,}7 \textrm{ N} && \end{align*}$$  |
|||||||||
| k-008 | Steffo försöker dra ut en fjäder med fjäderkonstanten 60 N/m. Han lyckas förlänga fjädern 50 cm $\textbf{(1/0/0)}$ från fjäderns ursprungslängd. Hur stor kraft drog han med? |
||||||||
|
|||||||||
|
Hooke's lag ger $$\begin{align*} F&=k\cdot x&&\\[5pt] F&=60\cdot 0{,}50=30 \textrm{ N} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-009 | Under en laboration med fjädrar hängs en 0,1 kg vikt i en fjäder. Fjädern dras då ut 8 cm. Vad är fjäderns $\textbf{(2/0/0)}$ fjäderkonstant? Svara i hela N/m. |
||||||||
|
|||||||||
|
Hooke's lag styr detta enligt $$\begin{align*} F&=k\cdot x&&\\[5pt] k&=\dfrac{F}{x}=\dfrac{0{,}1\cdot 9{,}82}{0{,}08}=12 \textrm{ N/m} \quad (12{,}275) && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-010 | En massa på 2,0 kg hänger stilla i taket i en fjäder. Fjädern har en fjäderkonstant på 50 N/m. $\textbf{(2/0/0)}$ Hur långt är fjädern utdragen? Svara i hela centimeter. |
||||||||
|
|||||||||
|
Hooke's lag ger $$\begin{align*} F&=k\cdot x&&\\[5pt] x&=\dfrac{F}{k}=\dfrac{2{,}0\cdot 9{,}82}{50}=39 \textrm{ cm} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-011 | En laboration där sammanhörande värden på kraft och förlängning hos en fjäder har sammanställts$\textbf{(2/0/0)}$ i grafen nedan. En linje har anpassats till mätpunkterna. Vad är fjäderkonstanten uttryckt i N/m?  |
||||||||
|
|||||||||
|
Lutningen motsvaras av k-värdet uttryckt i enheten N/cm, gör om förlängningen till meter. Avläsningen görs till 0,09 cm vid belastningen 6,0 N, vilket motsvarar 0,0009 m. $$\begin{align*} F&=k\cdot x&&\\[5pt] k&=\dfrac{F}{x}=\dfrac{6{,}0}{0{,}0009}=6\,700 \textrm{ N/m} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-012 | Tre lika fjädrar är kopplade i serie, som i den vänstra figuren A. $\textbf{(0/1/0)}$När en tyngd hakas fast i en fästpunkt på den understa fjädern sjunker fästpunkten 6 mm. Sedan kopplar man fjädrarna som i den högra figuren B. Hur mycket sjunker då fästpunkten, när samma tyngd hakas på? |
||||||||
|
|||||||||
|
Varje fjäder i A förlängs alltså 2 mm, eftersom de utsätts för samma krafter. I B bär de två parallellkopplade fjädrarna halva lasten var, och förlängs därmed 1 mm. Den seriekopplade bär ju hela lasten och förlängs då precis som tidigare 2 mm. Totalt ger det 3 mm i det högra fallet. $$\begin{align*} \dfrac{1}{k_T}&=\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k}=\dfrac{3}{k}&&\\[5pt] k_T&=\dfrac{k}{3}&&\\[5pt] F&=k_T\cdot 6=\dfrac{k}{3}\cdot 6=k\cdot 2&&\\[5pt] k_p&=k+k=2k&&\\[5pt] \dfrac{1}{k_T}&=\dfrac{1}{k_p}+\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{k}=\dfrac{3}{2k} &&\\[5pt] k_B&=\dfrac{2}{3}\cdot k &&\\[5pt] x&=\dfrac{F}{k}=\dfrac{3F}{2k}=\dfrac{3\cdot 2k}{2k}=3 \textrm{ mm} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-013 | En kloss med massan 3,4 kg glider nedför ett underlag som lutar $27^{\circ}$. Vid en punkt 6 m från botten$\textbf{(0/1/2)}$ på det lutande planet har klossen hastigheten $v_0=1{,}3$ m/s utmed planet. Vilken hastighet har klossen vid slutet av det lutande planet om friktionskoefficienten mellan klossen och planet uppskattas till $\mu=0{,}29$?  |
||||||||
|
|||||||||
Den resulterande kraften (som också är den accelererande kraften) på vagnen är skillnaden mellan tyngdkraftens komposant utmed den lutande planet, $F_1$ och friktionskraften $F_{\mu}$. Friktionskraften $F_{\mu}$ i sin tur ges av uttrycket $$\begin{align*} F_{\mu}&=\mu\cdot F_N= \mu \cdot 3{,}4\cdot g\cdot \cos 27^{\circ}&&\\[10pt] F_R&=F_1-F_{\mu}=3{,}4\cdot g \cdot \sin 27^{\circ}-0{,}29 \cdot 3{,}4\cdot g\cdot \cos 27^{\circ}=6{,}5 \textrm{ N} && \end{align*}$$ Nu kan klossens acceleration beräknas med Newtons 2a lag $$\begin{align*} a_{\textrm{kloss}}&=\dfrac{F_R}{m_{\textrm{kloss}}}=\dfrac{6{,}5}{3{,}4}=1{,}92 \textrm{ m/s$^2$} && \end{align*}$$ Nu tar rörelseformlerna vid och bästa valet i just detta fall är den så kallade tidlösa formeln $2as=v^2-v_0^2$. Vi får att $$\begin{align*} v&=\sqrt{2as+v_0^2}=\sqrt{2\cdot 1{,}92\cdot 6 + 1{,}3^2}=5{,}0 \textrm{ m/s} &&(4{,}97) \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-014 | En fallskärmshoppare väger 85 kg inkl. utrustning. Vid ett visst ögonblick under ett hopp är $\textbf{(2/0/0)}$ luftmotståndet 135 N. Hur stor är hopparens acceleration i detta ögonblick? |
||||||||
|
|||||||||
|
Den resulterande kraften på fallskärmshopparen är skillnaden mellan tyngdkraften och luftmotståndet och denna kraft ger upphov till hens acceleration enligt $$\begin{align*} F_R&=mg-135=85\cdot 9{,}82-135=700 \textrm{ N} && \end{align*}$$ Dessa 700 N kommer att accelerera 85 kg enligt $a=\dfrac{700}{85}=8{,}2$ m/s$^2$. |
|||||||||
| k-015 | Du drar din kompis i en pulka på plan mark med hårt packad snö. Du väger 60 kg, kompisen 70 kg $\textbf{(2/1/0)}$ och pulkan 20 kg. När du drar pulkan i snöret som sitter i pulkans framkant bildar snöret vinkeln $25^{\circ}$ mot markplanet. Pulkan har en konstant hastighet då du drar med 85 N i snöret. Hur stor är friktionskraften och friktionskoefficienten mellan pulkan och snön? |
||||||||
|
|||||||||
|
Friktionskraften kan beräknas som den horisontella komposanten av de 85 N som du drar med i pulkan. Detta eftersom det står att pulkan då har en konstant hastighet (Newtons 1:a lag). $$\begin{align*} F_{\mu}&=85\cdot \cos 25^{\circ}=77 \textrm{ N} && \end{align*}$$ För att beräkna friktionstalet behöver man även ta ha hänsyn till den vertikala komposantens bidrag. $F_N+85\cdot \sin 25^{\circ}= mg$. Därefter fås friktionstalet ur formeln $F_{\mu}=\mu\cdot F_N$ på sidan 33 i formelsamlingen. $$\begin{align*} \mu&=\dfrac{F_{\mu}}{F_N}=\dfrac{77}{mg - 85\cdot \sin 25^{\circ}}=\dfrac{77}{90\cdot 9{,}82 - 85\cdot \sin 25^{\circ}}=0{,}091 && \end{align*}$$ Friktionskraften är $F_{\mu}=77$ N och friktionstalet $\mu=0{,}091$. |
|||||||||
| k-016 | Klossen i figuren nedan väger 8,5 kg och friktionskoefficienten mellan klossen och underlaget är 0,35. $\textbf{(0/2/1)}$ Hur stor måste kraften $F$ vara för att klossen ska ligga still. Vinkeln mellan planet och horisontalplanet är $33^{\circ}$.  |
||||||||
|
|||||||||
Utöver kraften $F$ verkar två andra krafter på klossen utmed planet. Det är tyngdkraftens komposant på klossen utmed det lutande planet $F_1$ och friktionskraften mellan klossen och planet $F_{\mu}$. Tyngdkraftens komposant vill dra klossen nedför planet medan friktionskraften försöker förhindra detta. Även kraften $F$ vill hindra klossen från att glida ner för planet.  Skall klossen ligga stilla får vi alltså $$\begin{align*} F+F_{\mu}&=F_1 &&\\[5pt] F_1&=F_g\cdot \sin 33^{\circ} && \end{align*}$$ Friktionskraften fås ur formeln $F_{\mu}=\mu\cdot F_N$ på sidan 33 i formelsamlingen. Normalkraften $F_N$ är alltid vinkelrät mot underlaget, det lutande planet i denna uppgiften och blir alltså lika stor som den vinkelräta komposanten $F_2$ av tyngdkraften. $$\begin{align*} F_{\mu}&=\mu\cdot F_N=\mu\cdot F_2=\mu\cdot F_g\cdot \cos 33^{\circ} && \end{align*}$$ Nu har vi vad som behövs för att bestämma kraften $F$. $$\begin{align*} F&=F_1 -F_{\mu}= F_g\cdot \sin 33^{\circ} - \mu\cdot F_g\cdot \cos 33^{\circ} &&\\[5pt] &= 8{,}5 \cdot g\cdot \sin 33^{\circ} - 0{,}35 \cdot 8{,}5 \cdot g\cdot \cos 33^{\circ} &&\\[5pt] &= 21 \textrm{ N} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-017 | Bestäm klossarnas acceleration för de tre olika kraftsituationerna. Underlaget är horisontellt $\textbf{(0/2/1)}$ och klossarna kan röra sig utan friktion. Krafternas storlekar är $F_1 = 5.0$ N och $F_2 = 2.0$ N och klossens massa är $m=0.25$ kg.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| k-018 | En kraft på $F=25$ N verkar på kloss A som väger 25 kg. Kloss A knuffar i sin tur på kloss B som väger 15 kg. Båda klossarna kan röra sig utan friktion på den horisontella ytan.
 |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| k-019 | En låda med massan 5,0 kg dras med konstant fart över ett golv. Dragkraften, 18 N, är
parallell med golvet.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| k-020 | Din kompis åker nedför en skidbacke med den konstanta accelerationen $a=0{,}35$ m/s$^2$. Kompisens massa, $\textbf{(0/2/1)}$ inklusive all utrustning, är 85 kg och den friktionskraft som verkar på skidorna är 240 N. Hur stor är backens lutning i förhållande till marken? Luftmotståndet försummas. |
||||||||
|
|||||||||
Utmed backen verkar två krafter på skidåkaren, friktionskraften $F_{\mu}=240$ N uppåt backen och tyngdkraftens komposant nerför backen $F_1=F_g\sin v$.  Eftersom skidåkaren accelererar nerför backen måste alltså $F_1$ vara större än $F_{\mu}$. Hur mycket större? Jo, kraften skall ge massan 85 kg accelerationen $a=0{,}35$ m/s$^2$. Alltså måste den resulterande kraften utmed backen vara $F_R=85\cdot 0{,}35=30$ N. Detta innebär så att $F_1=240+30=270$ N. Nu kan vi lösa ut vinkeln $v$ ur $F_1=F_g\sin v$. $$\begin{align*} v&=\arcsin\left(\dfrac{270}{85\cdot g}\right)=19^{\circ} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-021 | En röd låda som väger 5,0 kg är först still på en horisontell och friktionslös yta. En kraft på 4,0 N påverkar sedan lådan enligt figur.
 |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| k-022 | En röd låda som väger 5,0 kg är först still på en horisontell och friktionslös yta. En kraft på 4,0 N påverkar sedan lådan enligt figur.
 |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| k-023 | En kloss med massan $m=7{,}0$ kg befinner sig i vila på en horisontell yta. Friktionen mellan klossen och ytan är $\mu=0{,}3$. En kraft på 35,0 N påverkar sedan lådan enligt figur.
 |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| k-024 | En kloss med massan $m = 3{,}5$ kg är först stilla. Sedan försätts den i nedanstående kraftsituation. $\textbf{(1/3/0)}$ Bilden visar klossen från ovan och klossen kan röra sig utan friktion. Hur långt och i vilken riktning har klossen åkt efter att krafterna $F_1$ och $F_2$ verkat i 2,0 s?  |
||||||||
|
|||||||||
Frilägg krafterna och beräkna resultanten. $$\begin{align*} F_x&=F_{2x}=11{,}3 \textrm{ N} &&\\[5pt] F_y&=F_1-F_{27}=12-6{,}5=5{,}5 \textrm{ N} &&\\[5pt] F_R&=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=12{,}6 \textrm{ N} &&\\[5pt] v&=\arctan\left(\dfrac{5{,}5}{11{,}3}\right)=26^{\circ}&& \end{align*}$$ Resultantkraften accelererar massan med $a=\dfrac{12{,}6}{3{,}5}=3{,}6$ m/s$^2$ under $t=2$ s, vilket ger sträckan. $$\begin{align*} s=v_0t+\dfrac{at^2}{2}=0+\dfrac{3{,}6\cdot 2^2}{2}=7{,}2 \text{ m} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| k-025 | En låda ligger på ett bord och glider framåt med konstant fart. Den är via en friktionsfri trissa $\textbf{(1/1/0)}$ fastsatt med en tråd i en vikt på 1,5 kg som faller ned mot golvet. Bestäm friktionskraften på lådan.  |
||||||||
|
|||||||||
Både lådan och vikten rör sig med konstant fart. Alltså är krafterna $F_g=F_S$ i figuren nedan. Resulterande kraft på både vikt och låda är därför noll. På vikten verkar dess tyngd $F_g$ $$\begin{align*} F_g&=1{,}5\cdot g = 1{,}5\cdot 9{,}82 \approx 15 \textrm{ N} && \end{align*}$$ Sträckkraften i tråden $F_S$ är således också 15 N. På lådan verkar denna sträckkraft och friktionskraften $F_{\mu}$, båda är 15 N. |
|||||||||
| k-026 | Båda kropparna, lådan och vikten, i figuren nedan är i vila. Tråden som förbinder dem är lätt och trissan $\textbf{(1/1/0)}$ är friktionsfri. Hur stor är friktionskraften som verkar på lådan på bordet?  |
||||||||
|
|||||||||
Vikten som hänger nedåt utövar via tråden en kraft på lådan. Denna kraft $F_S$ är riktad åt vänster på lådan och är lika stor som viktens tyngd $F_g$. $$\begin{align*} F_g&=m\cdot g= 0{,}60\cdot 9{,}82 \approx 5{,}9 \textrm{ N} && \end{align*}$$ Eftersom lådan på bordet är i vila måste det finnas en lika stor friktionskraft $F_{\mu}$ riktad åt höger. $F_g=F_S=F_{\mu}=5{,}9$ N. |
|||||||||
| k-027 | Den lilla vagnen rullar friktionsfritt på bordet. Vagnen väger 2,0 kg och är fäst med ett snöre i sin ena ända. Snöret löper över en friktionsfri trissa och är sedan fäst i en vikt med massan $m=1$ kg som hänger fritt.
 |
||||||||
|
|||||||||
Sätt upp den fullständiga kraftsituationen enligt figuren ovan. Eftersom allt är friktionsfritt, så kommer vikten 2 kg få systemet att accelerera moturs i detta fall. 
|
|||||||||
| k-028 | En kloss som väger 2,0 kg är fäst med ett snöre i sin ena ända. Snöret löper över en friktionsfri trissa och är sedan fäst i en vikt med massan $m=1$ kg som hänger fritt. Klossen accelererar med $a=1{,}5$ m/s$^2$.
 |
||||||||
|
|||||||||
Sätt upp den fullständiga kraftsituationen enligt figuren ovan. Denna gång får vi veta att klossen accelererar, det betyder att $F_{g}>F_{S}$ och att $F_{S}>F_{\mu}$. 
|
|||||||||
| k-029 | Den lilla vagnen rullar friktionsfritt på bordet. Den väger 1,0 kg och är fäst med snören i två friktionsfria trissor.
 |
||||||||
|
|||||||||
Ha för vana sätta upp den fullständiga kraftsituationen enligt figuren ovan. Eftersom allt är friktionsfritt och belastningen är ojämn, den är ju större till höger med 2 kg vikten, så kommer systemet att accelerera medurs. 
|
|||||||||
| k-030 | En kloss som väger 2,0 kg är fäst med snören i två friktionsfria trissor. Friktionekoefficienten mellan klossen och bordet är $\mu=0{,}3$.
 |
||||||||
|
|||||||||
Börja med att skriva ut den fullständiga kraftsituationen enligt figuren ovan. Eftersom belastningen är ojämn, den är ju större till höger med 2 kg vikten, så kommer systemet att accelerera medurs.
|
|||||||||
| k-031 | Den lilla vagnen rullar friktionsfritt på ett bord med lutningen $17^{\circ}$. Vagnen väger 2,0 kg och är fäst med snören i två friktionsfria trissor.
 |
||||||||
|
|||||||||
På klossen verkar tyngdkraften $F_g$, två snörkrafter $F_{S1}$ och $F_{S2}$ och en komposant av tyngdkraften $F_{1}$ utmed bordet. Se figuren, OBS! krafterna är inte skalenligt ritade. Kraftsituationen på klossen blir med beteckningarna
|
|||||||||
| k-032 | En kloss som väger 1,0 kg är fäst med snören i två friktionsfria trissor. Friktionekoefficienten mellan $\textbf{(0/1/2)}$ klossen och bordet är $\mu=0{,}2$. Klossen accelererar medurs med $a=1{,}5$ m/s$^2$. Hur stor är lutningen på bordet?  |
||||||||
|
|||||||||
På klossen verkar tyngdkraften $F_g$, två snörkrafter $F_{S1}$ och $F_{S2}$, en friktionskraft $F_{\mu}$ och en komposant av tyngdkraften $F_{1}$ utmed bordet. Se figuren, OBS! krafterna är inte skalenligt ritade. Kraftsituationen på klossen blir med beteckningarna $$\begin{align} F_R&=m\cdot a && \\[5pt] F_{S2}-F_{S1}-F_{1}-F_{\mu}&=1\cdot 1{,}5 && (1) \end{align}$$ Kraftsituationerna på vikterna. $$\begin{align} F_{g2}-F_{S2}&=2\cdot 1{,}5&& \\[5pt] F_{S1}-F_{g1}&=1\cdot 1{,}5&& \end{align}$$ Vi kombinerar dessa ekvationer med de kända sambanden nedan $$\begin{align} F_{\mu}&=\mu \cdot F_{N}&& \\[5pt] F_{N}&=F_g \cdot \cos \alpha&& \\[5pt] F_{1}&=F_g \cdot \sin \alpha&& \end{align}$$ Åter till klossen, stoppa nu in i ekvation (1). $$\begin{align*} (F_{g2}-2\cdot 1{,}5)-(F_{g1}+ 1 \cdot 1{,}5)-F_g \cdot \sin \alpha-\mu \cdot F_g \cdot \cos \alpha&=1\cdot 1{,}5 && \\[5pt] (2g-2\cdot 1{,}5)-(1g+ 1 \cdot 1{,}5)-1g \cdot \sin \alpha-\mu \cdot 1g \cdot \cos \alpha&=1\cdot 1{,}5 && \end{align*}$$ Efter att vi satt in de värden vi har har vi nu en ekvation i $\alpha$ enligt $$\begin{align*} 3{,}82&=9{,}82\sin \alpha + 1{,}964 \cos \alpha && \end{align*}$$ Denna ekvation går att lösa analytiskt med trigonometri som ni får lära er i Ma4. Men numeriskt med GeoGebra är inget dumt alternativ. Svaret blir $\alpha\approx 11{,}1^{\circ}$. |
|||||||||
| k-033 | Två klossar ligger på varsin ramp och är förbundna via en friktionsfri trissa med ett snöre enligt $\textbf{(0/0/3)}$ figuren nedan. Den blåa klossen väger 3 kg, rampen lutar $30^\circ$ och friktionskoefficienten mellan klossen och rampen är $\mu=0{,}3$. Den röda klossen väger 10 kg, rampen lutar $50^\circ$ och friktionskoefficienten mellan klossen och rampen är här $\mu=0{,}2$. Beräkna systemets acceleration.  |
||||||||
|
|||||||||
Börja alltid med att rita ut alla krafter som verkar på de båda massorna och teckna därefter kraftsituationen för respektive massa, se figuren. Det är i denna uppgiften rimligt att anta att accelerationen sker medurs, då gäller nu att $$\begin{align} 10\cdot a&=F_{10}-F_S-F_{\mu10} && (1) \\[10pt] 3\cdot a&=F_S-F_3-F_{\mu3} && (2) \end{align}$$ Vi löser ekvationssystemet exempelvis genom lösa ut $F_S$ ur (2) och stoppa in i (1) $$\begin{align} 10\cdot a&=F_{10}-F_3-F_{\mu3}-3\cdot a-F_{\mu10} && \end{align}$$ stoppa in siffror $$\begin{align} 10a&=10g\sin 50^\circ-3g\sin 30^\circ - 0{,}3\cdot 3g\cos 30^\circ-3a-0{,}2\cdot 10g\cos 50^\circ&& \\[10pt] a&=\dfrac{10g(\sin 50^\circ -0{,}2\cos 50^\circ)-3g(\sin 30^\circ + 0{,}3\cos 30^\circ)}{13}&&\\[10pt] &=3{,}1 \textrm{ m/s$^2$}&& \end{align}$$ |
|||||||||
| k-034 | Var och en av trådarna AB och CB i figuren nedan tål en maximal belastning på 30 N. En vikt med$\textbf{(0/1/2)}$ massan 4,0 kg hänger i de båda trådarna som är fästa vid A och C. Vinkeln mellan AB och BC är rät. Utred om trådarna kommer att hålla. Figuren är skalenligt ritad.  |
||||||||
|
|||||||||
Frilägg figuren, komposantuppdela $F_g$ utmed trådarna AB och CB och beräkna vinkeln $v$ genom att mäta rutor i den skalenliga figuren. Notera att krafttriangeln $\triangle$BDE är likformig med $\triangle$ABJ, vinkeln $v$ kan beräknas enligt $$\begin{align} \tan v&=\dfrac{8}{6} \quad \Longrightarrow \quad v\approx 53{,}13^{\circ} && \end{align}$$ Trigonometri i krafttriangeln $\triangle$BDE ger nu komposanternas storlek $$\begin{align} F_A&=F_g\cdot \cos v = 4{,}0\cdot g \cdot \cos 53{,}13^{\circ}= 23{,}6 \textrm{ N} &&\\[10pt] F_C&=F_g\cdot \sin v = 4{,}0\cdot g \cdot \sin 53{,}13^{\circ}= 31{,}4 \textrm{ N} && \end{align}$$ Eftersom trådarna endast tål en belastning på 30 N kommer tråd CB att brista. Därefter brister även AB eftersom den sedan får bära hela tyngden. |
|||||||||
| k-035 | Två vikter är förbundna med trådar enligt figuren nedan. Tråden dras uppåt så att vikterna får en $\textbf{(0/1/1)}$ acceleration av 5,0 m/s$^2$. Bestäm hur stor kraften blir i tråden som förbinder vikterna.  |
||||||||
|
|||||||||
På vikten med massan 4,0 kg verkar två krafter, spännkraften i snöret S och viktens tyngd 4,0g. Se figur. Den resulterande kraften på denna vikt blir då  $$\begin{align} F_R&=S-4{,}0\cdot g && \end{align}$$ Denna vikt får nu en acceleration a = 5,0 m/s$^2$. Newtons 2:a lag ger $$\begin{align} S-4{,}0\cdot g&=m\cdot a&&\\[10pt] S&=4{,}0\cdot g + m\cdot a=4{,}0\cdot 9{,}82 + 4{,}0\cdot 5{,}0=59{,}3 \textrm{ N} && \end{align}$$ |
|||||||||
| e-001 | En kraft på 90 N som bildar vinkeln 30$^{\circ}$ mot marken drar en planka 25 m efter plan mark. $\textbf{(1/0/0)}$ Hur stort arbete uträttas av kraften? |
||||||||
|
|||||||||
|
Arbetet utförs av kraftkomposanten i rörelsens riktning.
\begin{align*} W&=F\cdot \cos v \cdot \Delta x=90 \cdot \cos 30^{\circ} \cdot 25=1{,}95 \textrm{ kJ eller kNm}&& \end{align*} |
|||||||||
| e-002 | Anta att ett litet vattenkraftverk är lönsamt om det avger effekten
$P=700$ kW. $\textbf{(2/0/0)}$ Hur många kubikmeter vatten måste passera kraftverket varje sekund för att nå denna effekt om vattnets fallhöjd är 3,5 m och verkningsgraden är 70%? |
||||||||
|
|||||||||
|
Effekt är arbete/energi per tidsenhet och här behöver vi den nyttiga energin $E_{\textrm{nyttig}}=700$ kJ varje sekund för att nå lönsamhet. Ur definitionen av verkningsgrad har vi att. $\begin{align*} \eta&=\dfrac{E_{\textrm{nyttig}}}{E_{\textrm{tillförd}}} && \end{align*}$ Den tillförda energin $E_{\textrm{tillförd}}$ fås av den lägesenergi som fallhöjden ger, dvs. $\begin{align*} E_{\textrm{tillförd}}&=E_p=mgh && \end{align*}$ Vi har alltså att $\begin{align*} \dfrac{E_{\textrm{nyttig}}}{\eta}&=mgh && \end{align*}$ Lös ut massan $m$ för att beräkna hur mycket massa vatten som behöver falla per sekund. Verkningsgraden är $\eta=0{,}7$. $\begin{align*} m&= \dfrac{E_{\textrm{nyttig}}}{\eta gh} = \dfrac{700\,000}{0{,}7 \cdot 9{,}82 \cdot 3{,}5} && \\[5pt] &=29\,095 \approx 29\,000\textrm{ kg vatten per sekund}= 29 \textrm{ m$^3$ per sekund.}&& \end{align*}$ Vi antar för enkelhetens skull att 1 m$^3$ vatten väger 1 000 kg. |
|||||||||
| e-003 | En sjuksköterska styr en 75 kg tung patient liggandes på en 15 kg tung bår så att de får $\textbf{(2/0/0)}$ accelerationen 0,74 m/s$^2$. Hur stort arbete har sjuksköterskan utfört då patient och bår styrts 3,0 m? |
||||||||
|
|||||||||
|
Kraft och arbete ges av: $\begin{align*} F&=m\cdot a=(75+15)\cdot 0{,}74= 67\textrm{ N}&&\\[5pt] W&=F\cdot \cos v \cdot \Delta x=(75+15)\cdot 0{,}74 \cdot \cos 0^{\circ} \cdot 3=200 \textrm{ J eller Nm.}&& \end{align*}$ |
|||||||||
| e-004 | Bengt-Conny drar en låda med kraften $F=150$ N enligt figuren. Vilket arbete utför han?$\textbf{(2/0/0)}$ | ||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Arbetet ges av: $\begin{align*} W&=F\cdot \cos v \cdot s=150\cdot \cos 30^{\circ} \cdot 100 =12\,990 \textrm{ J eller Nm.}&& \end{align*}$ |
|||||||||
| e-005 | Hur stor effekt kan man utvinna i ett vattenkraftverk om vattenflödet$\textbf{(2/0/0)}$ är 100 m$^3$/s, fallhöjden 30 m och verkningsgraden 85%? |
||||||||
|
|||||||||
|
Effekt är arbete/energi per tidsenhet. Energin fås av den lägesenergi som fallhöjden ger, dvs. $E_p=mgh$. 85% av lägesenergin blir elektrisk energi, dvs. verkningsgraden är $\eta=0{,}85$. Antag att 1 kubikmeter vatten väger 1 000 kg. $\begin{align*} P_{\textrm{nyttig}}&=P_{\textrm{tillförd}}\cdot \eta =\dfrac{mgh}{t}\cdot \eta=\dfrac{100\,000\cdot 9{,}82\cdot 30\cdot 0{,}85}{1}=25\textrm{ MW} && \end{align*}$ I uppgiften står det ju redan hur mycket vatten som flödar per sekund, så tidsenheten bjuds man på här! |
|||||||||
| e-006 | Ge ett enkelt exempel på då du i fysikalisk mening inte utför något arbete, $\textbf{(1/1/0)}$ men som kräver en ansträngning. Motivera varför ett arbete inte utförts. |
||||||||
|
|||||||||
| T ex. En person står och håller i en väska. För att ett arbete ska utföras så måste en kraft verka i rörelseriktningen. I detta fall rör sig inte väskan men tyngdkraften verkar neråt. Personen som håller i väskan kommer att bli trött i armen men något fysikaliskt arbete har inte utförts. | |||||||||
| e-007 | Ett av Sveriges största vattenkraftverk, Stornorrfors i Umeälven, har en fallhöjd på 75 m. $\textbf{(1/1/0)}$ Hur stor effekt kan utvinnas i kraftverket om vattenflödet är 930 m$^3$/s och verkningsgraden är 85 %? Du kan anta att 1 m$^3$ vatten väger 1 ton. |
||||||||
|
|||||||||
|
Väldigt lik Fysik A-VT2000: uppgift 9 (1021) Effekt är arbete/energi per tidsenhet. Energin fås av den lägesenergi som fallhöjden ger, dvs. $E_p=mgh$. 85 % av lägesenergin blir elektrisk energi, dvs. verkningsgraden är $\eta=0{,}85$. Antag att 1 kubikmeter vatten väger 1000 kg. $$\begin{align*} P_{\textrm{nyttig}}&=P_{\textrm{tillförd}}\cdot \eta =\dfrac{mgh}{t}\cdot \eta=\dfrac{930\,000\cdot 9{,}82\cdot 75\cdot 0{,}85}{1}=580\textrm{ MW} && \end{align*}$$ I uppgiften står det ju redan hur mycket vatten som flödar per sekund, så tidsenheten bjuds man på här! |
|||||||||
| e-008 | En tyngdlyftare lyfter en skivstång som väger 219 kg. Skivstången lyfts 2,1 m upp från golvet på 5,0 s.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| e-009 | Det behövs en kraft på 1 250 N för att en bil ska röra sig med konstant hastighet uppför en backe $\textbf{(2/1/0)}$ som lutar 7$^{\circ}$. Vilken blir bilens konstanta hastighet om dess nyttiga effekt är 55 hk? |
||||||||
|
|||||||||
|
Denna uppgift försöker att lura er lite genom att ge uppgiften om lutningen. Den behövs inte eftersom vi även får veta den nyttiga effekten på bilen och kraften längs planet! 55 hk $=55\cdot 735{,}5=40\,452$ W. På 1 sekund utvecklar bilens motor alltså $E=40\,452$ J och det motsvarar att kraften $F=1\,250$ N skall flytta bilen 32 m. $$\begin{align*} E&=F\cdot s&&\\ 40\,452&=1\,250\cdot s \quad \Longrightarrow \quad s=32 \textrm{ m} && \end{align*}$$ Så varje sekund räcker energin från motorn till att förflytta bilen ungefär 32 m. $v=32$ m/s. |
|||||||||
| e-010 | En häst drar en vagn mellan två städer, resan tar 2,5 timmar. Hästen är ovanligt stark och genererar$\textbf{(2/0/0)}$ genomsnitt effekten 1,6 hästkrafter under resans gång. Hur mycket energi har hästen gjort av med? Ledning: Hästkraft till Watt hittar du på sidan 6 i formelsamlingen. |
||||||||
|
|||||||||
|
Hästkraft är en äldre effektenhet som du kanske har hört talas om, den motsvarar 735,5 W. I denna uppgift vet vi alltsåeffekten och tiden och kan då beräkna arbetet/energin enligt. $$\begin{align*} P&=\dfrac{W}{t} \quad \Longrightarrow \quad W=P\cdot t&&\\ W& = (1{,}6\cdot 735{,}5 )\cdot (2{,}5 \cdot 60\cdot 60)\approx 11 \textrm{ MJ} &&(10\,591\,200) \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-011 | En bil med massan $m=1\,100$ kg accelererar från 110 km/h till 150 km/h på 2,9 s. $\textbf{(1/1/0)}$ Vilken effekt har bilens motor utvecklat under accelerationen? |
||||||||
|
|||||||||
|
Energi/arbetes resonemanget här är följande. Bilens hastighet har ökat, detta sker såklart inte av sig självt, här måstemotorn ha utfört ett arbete och bilen har då erhållit motsvarande mängd energi. Vi vet ju inget om motorn, däremot vet vi energitillskottet från motorn gör med bilens hastighet och därmed kan vi indirekt bestämma hur mycket arbete som motorn utfört. Helt enkelt skillnaden i kinetisk energi före och efter accelerationen. $$\begin{align*} \Delta E_k&=\dfrac{mv_e^2}{2}-\dfrac{mv_f^2}{2}=\dfrac{1\,100 \cdot \left(\frac{150}{3{,}6}\right)^2}{2}-\dfrac{1\,100\cdot \left(\frac{110}{3{,}6}\right)^2}{2}=441\,358{,}0247 \textrm{ J}&&\\[10pt] P&=\dfrac{441\,358{,}0247}{2{,}9} \approx 150 \textrm{ kW} \quad (152\,192)&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-012 | I en hiss färdas 7 personer från bottenvåningen till översta våningen. Hissens totala massa inklusive$\textbf{(1/1/0)}$ de 7 personerna är 794 kg och höjdskillnaden mellan våningarna är 99 m. Om hissens motor utvecklar den konstanta effekten 90 kW, hur lång tid bör då hissfärden har tagit? |
||||||||
|
|||||||||
|
Här handlar det istället om att hissmotorn utför ett arbete som genererar en ökning i potentiell energi hos hissen och de 7 personerna i hissen. Denna potentiella energi kan vi enkelt beräkna med $E_k=mgh$, eftersom även hissmotorns effekt är känd kan sedan tiden bestämmas. $$\begin{align*} E_k&=mgh=794\cdot 9{,}82\cdot 99=771\,910{,}92 \textrm{ J}&&\\ t&=\dfrac{E_k}{P}=\dfrac{771\,910{,}92}{90\,000}\approx 8{,}6 \textrm{ s} \quad (8{,}576788)&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-013 | En bil med massan 1 500 kg accelererar från 0 km/h till 100 km/h på 3,5 s. Under accelerationen$\textbf{(2/1/0)}$ utvecklar motorn i genomsnitt 400 kW. Hur många procent av den energi som motorn avger under accelerationen går till att öka bilens rörelseenergi? |
||||||||
|
|||||||||
|
Rörelseenergin ges av $$\begin{align*} E_k&=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{1\,500\cdot \left(\frac{100}{3{,}6}\right)^2}{2}=578\,704\textrm{ J} && \end{align*}$$ Då acceleration upp till 100 km/h pågår i $t=3{,}5$ s motsvarar det en effekt på. $$\begin{align*} P&=\dfrac{E_k}{t}=\dfrac{578\,704}{3{,}5}=165\,344 \textrm{ W} && \end{align*}$$ I förhållande till motorns i genomsnitt utvecklade effekt på 400 kW är detta ca. 41 %. |
|||||||||
| e-014 | Emma och Oskar ska ta sig upp till toppen av ett berg. Emma väljer en kort och brant stig$\textbf{(1/0/0)}$ medan Oskar går längs en lång och svagt lutande stig upp till toppen. På toppen börjar de diskutera vem av dem som ökat sin lägesenergi mest. Vad säger du? Motivera! |
||||||||
|
|||||||||
| $E = mgh$, där $h$ är lodrät höjd. Det som kan vara olika är massan $m$. Den som väger mest har ökat sin lägesenergi mest. | |||||||||
| e-015 | Beräkna den kinetiska energin hos en 4,00 g gevärskula som rör sig med farten 450 m/s.$\textbf{(2/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Kinetiska energin ges av $$\begin{align*} E_k&=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{0{,}004 \cdot 450^2}{2}=405\textrm{ J} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-016 | En bil har massan 1 030 kg. Hur många gånger större är dess rörelseenergi vid 100 km/h än vid 50 km/h?$\textbf{(2/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Kinetiska energin vid de olika hastigheterna ges av $$\begin{align*} E_{k100}&=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{1\,030 \cdot \left(\frac{100}{3{,}6}\right)^2}{2}=397\,376\textrm{ J} &&\\[10pt] E_{k50}&=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{1\,030 \cdot \left(\frac{50}{3{,}6}\right)^2}{2}=99\,344\textrm{ J} &&\\[10pt] \end{align*}$$ Energin blir en faktor 4 gånger större och detta beror såklart på att den kinetiska energin är propotionell mot hastigheten i kvadrat. Detta skulle enkelt kunna visas rent symboliskt på förljande sätt. $$\begin{align*} E_{k-v}&=\dfrac{mv^2}{2}&&\\[10pt] E_{k-2v}&=\dfrac{m(2v)^2}{2}=\dfrac{4mv^2}{2}&&\\[10pt] \dfrac{E_{k-2v}}{E_{k-v}}&=\dfrac{\dfrac{4mv^2}{2}}{\dfrac{mv^2}{2}}=4&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-017 | Bestäm den mekaniska energin för att modellflygplan som färdas i 70 km/h på 40 m höjd över marken. $\textbf{(2/0/0)}$ Modellflygplanet väger 800 g. |
||||||||
|
|||||||||
|
Den mekaniska energin ges av $$\begin{align*} E_{\textrm{mek}}&=E_{\textrm{p}} + E_{\textrm{k}} = mgh + \dfrac{mv^2}{2}=0{,}8 \cdot 9{,}82 \cdot 40 + \dfrac{0{,}8\cdot \left(\dfrac{70}{3{,}6}\right)^2}{2} = 465\textrm{ J} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-018 | En vagn kan röra sig friktionsfritt längs en bana. Vid nivå A har vagnen hastigheten noll. Bestäm vagnens hastighet på nivå B.$\textbf{(2/1/0)}$ Modellflygplanet väger 800 g. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Den mekaniska energin är bevarad, vi får att $$\begin{align*} E_{\textrm{mek-A}}&=E_{\textrm{p}} + E_{\textrm{k}} = mgh + \dfrac{mv^2}{2}=0{,}5 \cdot 9{,}82 \cdot 0{,}40 + 0 && \\ E_{\textrm{mek-B}}&= E_{\textrm{p}} + E_{\textrm{k}} = mgh + \dfrac{mv^2}{2}=0{,}5 \cdot 9{,}82 \cdot 0{,}10 + \dfrac{0{,}5\cdot v^2}{2} &&\\ E_{\textrm{mek-A}}&=E_{\textrm{mek-B}} && \end{align*}$$ Lös ut hastigheten $v$ vid punkten B $$\begin{align*} v&=\sqrt{\big(0{,}5 \cdot 9{,}82 \cdot 0{,}40 - 0{,}5 \cdot 9{,}82 \cdot 0{,}10\big)\cdot \dfrac{2}{0{,}5}}=2{,}43 \textrm{ m/s} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-019 | En sten kastas snett uppåt från en höjd 2,0 m över marken. Dess utgångsfart är $v_0=15$ m/s.
|
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Systemets mekaniska energi kan bestämmas i startpunkten eftersom både höjden och hastigheten är kända vid starten. $$\begin{align*} E_{\textrm{mek}}&=E_{\textrm{p}} + E_{\textrm{k}} = mgh + \dfrac{mv^2}{2}=m \cdot 9{,}82 \cdot 2{,}0 + \dfrac{m\cdot 15^2}{2} && \end{align*}$$
|
|||||||||
| e-020 | En kastad sten befinner sig på 3,0 m höjd över marken (nollnivån) och rör sig med farten 5,0 m/s. $\textbf{(0/2/0)}$ Stenens mekaniska energi är 22 J. Bestäm vad stenen väger. |
||||||||
|
|||||||||
|
Den mekaniska energin är bevarad och i detta fallet känd, vi får att $$\begin{align*} E_{\textrm{mek}}&=E_{\textrm{p}} + E_{\textrm{k}} = mgh + \dfrac{mv^2}{2}=m \cdot 9.82 \cdot 3{,}0 + \dfrac{m\cdot 5{,}0^2}{2} = 22 \textrm{ J} && \end{align*}$$ Lös ut massan $m$ $$\begin{align*} m&=\dfrac{22}{9{,}82 \cdot 3{,}0 + \dfrac{5{,}0^2}{2}} = 0{,}524 \textrm{ kg} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-021 | En bil med massan 800 kg startar och ökar farten från 0 till 25 m/s. Hur mycket ökar rörelseenergin, när farten växer från
|
||||||||
|
|||||||||
|
Rörelseenergin ges av $$\begin{align*} E_{\textrm{p}}&= \dfrac{mv^2}{2} && \end{align*}$$
|
|||||||||
| e-022 | En pendel består av en kula med massan 3,0 kg som är fastknuten i änden på ett snöre. Kulan hålls still 0,40 m ovan pendelns lägsta punkt, se figur, och släpps.
|
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| e-023 | En vikt hänger i ett snöre som är 1 m. Vikten förs åt sidan så att snörets vinkel med lodlinjen är 40$^{\circ}$ och släpps. $\textbf{(0/2/0)}$ Bestäm hastigheten som vikten har då den befinner sig i lägsta punkten. Bortse från friktion. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Den mekaniska energin är alltid bevarad och viktens potentiella energi i relation till lodlinjen kan bestämmas med trigonometri. Farten i nedre läget ges av att den potentiella energin helt har omvandlats till kinetisk energi. Höjden beräknas exempelvis enligt. $$\begin{align*} 1-1\cdot \cos 40^{\circ}&=0.234 \textrm{ m} &&\\[10pt] mgh&= \dfrac{mv^2}{2} &&\\[10pt] v&=\sqrt{2\cdot 9{,}82 \cdot 0{,}234}=2{,}14 \textrm{ m/s} \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-024 | En liten flicka ska välja en av nedanstående rutschbanor så att hon får största möjliga hastighet när hon $\textbf{(1/0/0)}$ åker ut från den nedersta punkten. Samtliga banor kan anses vara friktionsfria. Vilken skall hon välja: A,B,C,D eller spelar det kanske ingen roll? |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Potentiell energi = kinetisk energi $$\begin{align*} \dfrac{mv^2}{2}&=mgh \quad \Longrightarrow \quad v=\sqrt{2gh} && \end{align*} $$ SVAR: Hon kan välja vilken som helst. |
|||||||||
| e-025 | En vagn i en berg- och dalbana startar från stillastående på höjden $h=15$ m. $\textbf{(2/0/0)}$ Bestäm vagnens maximala hastighet. Försumma friktionen. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Maximala hastigheten fås i lägsta punkten och energiprincipen ger: $$\begin{align*} \dfrac{mv^2}{2}&=mgh \quad \Longrightarrow \quad v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9{,}82\cdot 15}=17{,}2\textrm{ m/s} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-026 | Du står längst ut på en brygga och kastar en sten snett uppåt. Då stenen lämnar din hand har den farten 15 m/s. När stenen når sin högsta punkt är den 25 m ovanför vattenytan och har farten 5,0 m/s.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| e-027 | En motorcykel väger 240 kg inklusive förare. Under en inbromsning minskar dess hastighet$\textbf{(2/0/0)}$ från 18 m/s till noll på 10 s. Hur mycket energi omvandlades maximalt till värme under inbromsningen? |
||||||||
|
|||||||||
|
Här försöker frågeställaren också luras lite genom att ge en uppgift som inte behövs, nämligen tiden $t=10$ s. Den enda vi behöver är att beräkna den kinetiska energin hos motorcykeln, det motsvarar också den maximala energin som kan omvandlas till värme under inbromsningen. $$\begin{align*} E_k&=\dfrac{m v^2}{2}=\dfrac{240\cdot 18^2}{2}=39 \textrm{ kJ} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-028 | En kloss med massan 0,40 kg rör sig utför ett lutande plan. Friktionskraften som verkar på klossen är hela $\textbf{(1/1/2)}$ tiden lika med 0,75 N. Då klossen passerar höjden 2,0 m är dess hastighet 1,5 m/s. Vilken hastighet har den då den passerar höjden 0,5 m? Sträckan längs planet mellan de två höjderna är 2,7 m. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Beräkna tyngdkraften $F_g$'s komposant $F_1$ utmed planet. $$\begin{align*} F_g&=mg=0{,}40\cdot 9{,}82=3{,}928 \textrm{ N}&&\\[10pt] F_1&=F_g \sin v=F_g \cdot \frac{1{,}5}{2{,}7}=2{,}18 \textrm{ N} && \end{align*}$$ Nettokraften som drar klossen nedför planet är $F_1-0{,}75=1{,}43$ N. Denna kraft kommer att accelerera klossen med accelerationen $$\begin{align*} a&=\dfrac{1{,}43}{0{,}4}=3{,}58 \textrm{ m/s$^2$} && \end{align*}$$ Tiden det tar för klossen att färdas de 2,7 meterna mellan höjderna kan beräknas ur sträckformel 2 enligt $$\begin{align*} 2{,}7&=1{,}5t+\dfrac{3{,}58t^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad t=0{,}88 \textrm{ s}&& \end{align*}$$ Konstant acceleration i 0,88 s med starthastigheten $v_0=1{,}5$ m/s ger sluthastigheten $$\begin{align*} v&=v_0+at=1{,}5+3{,}58\cdot 0{,}88=4{,}65 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Här skulle det såklart också gå bra att använda den tidlösa formeln direkt. $$\begin{align*} 2as&=v^2-v_0^2&&\\[10pt] v&=\sqrt{2as+v_0^2}=\sqrt{2\cdot 3{,}58\cdot 2{,}7+1{,}5^2}=4{,}65 \text{ m/s}&& \end{align*}$$ Här skulle det också gå bra med ett energiresonemang i enlighet med energiprincipen. Det står oss fritt att välja 0-nivån som vi vill och varför inte välja slutnivån, alltså 0,5 meters nivån till 0-nivå. Då blir ju den potentiella energin där noll. Då klossen befinner sig vid höjden 2,0 m är den då 1,5 m över vår satta 0-nivå och vi får vi den mekaniska energin. $$\begin{align*} E_{\text{mek.övre}}&=mgh+\dfrac{mv^2}{2}&&\\[10pt] =0{,}4\cdot 9{,}82\cdot 1{,}5+\dfrac{0{,}4\cdot 1{,}5^2}{2}&& \end{align*}$$ På sin väg ner till den lägre nivån kommer en del av denna mekaniska energi att gå ''förlorad'' i form av friktionsenergi, energi som i annat fall skulle ha blivit ''mer'' hastighet. Den mekaniska energin i den nedre läget blir nu $$\begin{align*} E_{\text{mek.nedre}}&=mgh+\dfrac{mv^2}{2}+W_{\mu}&&\\[10pt] &=mgh+\dfrac{mv^2}{2}+W_{\mu}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| e-029 | En sten har lägesenergin 200 J då den befinner sig på höjden 15 m över marken. Lägesenergin på marken är 0 J. Stenen får falla fritt. Vilken rörelseenergi har stenen
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| e-030 | Stavhopp!
|
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| e-031 | En boll studsar upprepade gånger mot golvet. Grafen visar bollens höjd över golvet vid olika tidpunkter. I bilderna finns markören placerad i två olika lägen på grafen. $x$ anger tiden mätt i sekunder och $y$ höjden mätt i meter. Bollens massa är 75 g.
|
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| e-032 | I denna uppgift ska du undersöka hur stor effekt som behöver tillföras för att driva en skidlift, en så $\textbf{(3/3/2)}$ kallad stollift. Du ska utreda väsentliga faktorer som kan påverka effekten. Motivera dina antaganden och den fysikaliska tankegången. Du väljer om du vill utföra den generella undersökningen (punkt tre) direkt eller om du vill utföra uppgiften stegvis genom alla punkterna. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| p-001 | En biljardspelare stöter en biljardkula i vila med en kraft på F$=$18 N. Biljardkulan väger 0,25 kg och får hastighet $v=15$ m/s.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| p-002 | En sten som väger 2,0 kg har rörelsemängden 12 kgm/s. Vilken är dess rörelseenergi?$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Ur formeln för rörelsemängden kan hastigheten beräknas och därefter den kinetiska energin. $$\begin{align*} p&=mv=12 \textrm{ kgm/s}\quad \Longrightarrow \quad v=6\textrm{ m/s} &&\\[10pt] E_k&= \dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{2\cdot 6^2}{2}=36 \textrm{ J} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-003 | Stämmer det att en kokosnöt kan komma upp i 80 km/h efter ett fall på 25 m?$\textbf{(2/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Fritt fall i 25 m. Beräkna tiden för fallet med $$\begin{align*} s&=\dfrac{gt^2}{2}&&\\[10pt] t&=\sqrt{\dfrac{2s}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 25}{9.82}}=2.26 \textrm{ s}&& \end{align*}$$ Fritt fall i $t=2.26$ s ger hastigheten $$\begin{align*} v&=v_0+at=0+gt=9.82\cdot 2.26\approx22 \textrm{ m/s}\approx 80\textrm{ km/h} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-004 | En golfboll med massan 0,050 kg är först still och slås sedan till med putterklubban. Direkt efter $\textbf{(1/1/0)}$ tillslaget rör sig bollen med 2,0 m/s. Puttern och bollen har kontakt i 0,060 s. Med hur stor kraft påverkar puttern bollen i genomsnitt under de 0,060 s? |
||||||||
|
|||||||||
|
Fritt fall i 25 m. Beräkna tiden för fallet med $$\begin{align*} F\cdot \Delta t&=m\cdot \Delta v&&\\[10pt] F&=\dfrac{m\cdot (v_2-v_1)}{\Delta t}=\dfrac{0.050\cdot (2-0)}{0.060}=1.7\textrm{ N} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-005 | En kula med massan $m_1=7.0$ g rör sig mot en stillastående kula med massan $m_2=14$ g. Kulorna $\textbf{(1/1/0)}$ kolliderar elastiskt. Efter kollisionen rör sig den från början stillastående kulan med 0.15 m/s i den lättare kulans ursprungliga rörelseriktning. Vilka var den lättare kulans hastigheter före resp. efter kollisionen? |
||||||||
|
|||||||||
|
På sidan 35 i formelsamlingen finns lagen om rörelsemängdens bevarande, det går tyvärr inte i detta fallet att använda förenklingen med endast de relativa hastigheterna! Vi behöver här även lagen om rörelseenergins bevarande. $$\begin{align*} 0{,}007\cdot v_{\textrm{1f}}&=0{,}007\cdot v_{\textrm{1e}} + 0{,}014\cdot 0{,}15 &&\Longleftrightarrow \quad v_{\textrm{1f}}=v_{\textrm{1e}} + 0{,}3\\[10pt] \dfrac{0{,}007\cdot v_{\textrm{1f}}^2}{2}&=\dfrac{0{,}007\cdot v_{\textrm{1e}}^2}{2} + \dfrac{0{,}014\cdot 0{,}15^2}{2} &&\Longleftrightarrow \quad v_{\textrm{1f}}^2=v_{\textrm{1e}}^2 + 0{,}045 \end{align*}$$ Vi löser detta ekvationssystem för att bestämma hastigheterna $v_{\textrm{1f}}$ och $v_{\textrm{1e}}$. $$\begin{align*} v_{\textrm{1e}}&=-0{,}075\textrm{ m/s}&&\\[10pt] v_{\textrm{1f}}&=0{,}225\textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ Det finns också ett alternativt sätt att få den där andra ekvationen som behövs för att lösa uppgiften och det är att använda det faktum att de relativa hastigheterna är lika för en elastisk stöt. Med de valdabeteckningarna fås alltså: $$\begin{align*} v_{\textrm{1e}}-v_{\textrm{2e}}&=v_{\textrm{2f}}-v_{\textrm{1f}}&& \end{align*}$$ denna tar vi nu i kombination med RM's bevarande $$\begin{align*} v_{\textrm{1f}}&=v_{\textrm{1e}} + 0{,}3\\[10pt] v_{\textrm{1e}}-0{,}15&=0-v_{\textrm{1f}}&& \end{align*}$$ och kommer fram till samma resultat $$\begin{align*} v_{\textrm{1e}}&=-0{,}075\textrm{ m/s}&&\\[10pt] v_{\textrm{1f}}&=0{,}225\textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-006 | Två föremål stöter ihop och fastnar i varandra utan att några yttre krafter verkar på dem. Av nedanstående alternativ är två korrekta. Vilka?$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
Korrekt svar är: B) Rörelsemängden bevaras, vilket den alltid gör och E) Rörelsemängden bevaras och rörelseenergin minskar. |
|||||||||
| p-007 | En projektil skjuts iväg rakt upp från marken. Den stiger till 105 meter och faller sedan ner. $\textbf{(1/0/0)}$ Vilken av nedanstående storheter är konstant under luftfärden för projektilen? Försumma luftmotståndet. |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
Korrekt svar är: E) Accelerationen. Den är 9,82 m/s$^2$ och riktad ner mot marken och jordens centrum under hela färden. |
|||||||||
| p-008 | Två vagnar med lika stora massor fastnar i varandra när de kolliderar på en rak, horisontell och $\textbf{(1/0/0)}$ friktionsfri bana. Vilket av nedanstående alternativ är alltid sant? |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
Korrekt svar är: E) Rörelsemängden för de båda vagnarna bevaras i kollisionen. |
|||||||||
| p-009 | Pelle spelar bordtennis, bordtennisbollen väger 2,5 gram och vid ett tillslag ändrar bollen sin hastighet från 12 m/s i ena riktningen till 20 m/s i rakt motsatt riktning. | ||||||||
|
|||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| p-010 | Lille Albert som väger 28 kg möter en liten vagn med massan 15 kg som kommer rullande rakt mot $\textbf{(1/1/0)}$ honom med en hastighet av 3,5 m/s. Han hoppar upp på den och därvid stannar vagnen. Vilken hastighet hade Albert då han hoppade upp? |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Med positiv riktning i Alberts ursprungliga riktning ger lagen om rörelsemängdens bevarande följande ekvation för fallet att ekipaget stannar: $$\begin{align*} p_{f}&=p_{e} \quad \Longrightarrow \quad 28\cdot v - 15\cdot 3.5=0 \Longrightarrow v\approx 1.9 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-011 | En boll med hastigheten $v_\textrm{AF}=1$ m/s och massan $m_\textrm{A}=1$ kg kolliderar med en boll$\textbf{(0/2/0)}$ i vila med massan $m_\textrm{B}=3$ kg. Kollisionen är fullständigt oelastisk (studskoefficienten $e=0$) och bollarna hakar i varandra efter kollisionen. Beräkna hastigheten $v_\textrm{E}$ efter kollisionen. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Detta är den enklaste formen av stötproblem, den fullständigt oelastiska stöten där föremålen hakar i varandra efter kollisionen. Här är alltså studskoefficienten $e=0$. För att lösa dessa behövs enbart rörelsemängdens bevarande, eftersom vi bara har en obekant $v_{\textrm{E}}$. $$\begin{align*} m_{\textrm{A}}\cdot v_\textrm{AF} + m_{\textrm{B}}\cdot v_\textrm{BF}&=(m_{\textrm{A}} + m_{\textrm{A}})\cdot v_{\textrm{E}} && \end{align*}$$ Med insatta siffror $$\begin{align*}0&=(1+3)\cdot v_{\textrm{E}} &&\\[10pt] v_{\textrm{E}}&=0{,}25 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-012 | En boll med hastigheten $v_\textrm{AF}=1$ m/s och massan $m_\textrm{A}=1$ kg kolliderar med en boll$\textbf{(0/1/2)}$ i vila med massan $m_\textrm{B}=3$ kg. Kollisionen är elastisk. Beräkna hastigheterna $v_\textrm{AE}$ och $v_\textrm{BE}$ efter kollisionen. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Nästa svårighetsgrad av stötproblem, den elastiska stöten där även rörelseenergin är bevarad. Här är alltså studskoefficienten $e=1$. För att lösa dessa behöver vi något mer än enbart rörelsemängdens bevarande och det har vi, nämligen studskoefficienten $e=1$. Det innebär ju att $$\begin{align*} v_{\textrm{BE}}-v_{\textrm{AE}}&=v_{\textrm{AF}}-v_{\textrm{BF}} && \end{align*}$$ Rörelsemängdens bevarande $$\begin{align*} m_{\textrm{A}}\cdot v_\textrm{AF} + m_{\textrm{B}}\cdot v_\textrm{BF}&=m_{\textrm{A}}\cdot v_\textrm{AE} + m_{\textrm{B}}\cdot v_\textrm{BE} && \end{align*}$$ Vi sätter in de siffror vi har i dessa båda ekvationer. $$\begin{align*} v_{\textrm{BE}}-v_{\textrm{AE}}&=1-0 \Longrightarrow v_{\textrm{BE}}=1+v_{\textrm{AE}} && \\[10pt] 1\cdot 1 + 3\cdot 0&=1\cdot v_\textrm{AE} + 3\cdot v_\textrm{BE} && \end{align*}$$ Lös detta ekvationssystem med exempelvis substitutionsmetoden. $$\begin{align*} 1&=1\cdot v_\textrm{AE} + 3\cdot (1+v_\textrm{AE}) &&\\[10pt] v_\textrm{AE}&=\dfrac{-2}{4}=-0.5 \textrm{ m/s}&& \\[10pt] v_{\textrm{BE}}&=1+v_{\textrm{AE}}=1-0.5=0.5 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-013 | En boll med hastigheten $v_\textrm{AF}=1$ m/s och massan $m_\textrm{A}=1$ kg kolliderar med en boll i vila $\textbf{(0/1/2)}$ med massan $m_\textrm{B}=3$ kg. Kollisionen är oelastisk med studskoefficienten $e=0{,}61$. Beräkna hastigheterna $v_\textrm{AE}$ och $v_\textrm{BE}$ efter kollisionen. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Ytterligare lite svårare variant av stötproblem, den oelastiska stöten med studskoefficienten $0<e<1$. För att lösa dessa använder vi samma metod som i föregående, med skillnaden att de relativa hastigheterna nu inte är lika. $$\begin{align*} e&=\dfrac{v_{\textrm{BE}}-v_{\textrm{AE}}}{v_{\textrm{AF}}-v_{\textrm{BF}}} && \\[10pt] e\cdot \left( v_{\textrm{AF}}-v_{\textrm{BF}} \right)&=v_{\textrm{BE}}-v_{\textrm{AE}} && \end{align*}$$ Rörelsemängdens bevarande $$\begin{align*} m_{\textrm{A}}\cdot v_\textrm{AF} + m_{\textrm{B}}\cdot v_\textrm{BF}&=m_{\textrm{A}}\cdot v_\textrm{AE} + m_{\textrm{B}}\cdot v_\textrm{BE} && \end{align*}$$ Vi sätter in de siffror vi har i dessa båda ekvationer. $$\begin{align*} 0{,}61\cdot \left( 1-0 \right)&=v_{\textrm{BE}}-v_{\textrm{AE}}\Longrightarrow v_{\textrm{BE}}=0.61+v_{\textrm{AE}} && \\[10pt] 1\cdot 1 + 3\cdot 0&=1\cdot v_\textrm{AE} + 3\cdot v_\textrm{BE} && \end{align*}$$ Lös detta ekvationssystem med exempelvis substitutionsmetoden. $$\begin{align*} 1&=1\cdot v_\textrm{AE} + 3\cdot (0{,}61+v_\textrm{AE}) &&\\[10pt] v_\textrm{AE}&=\dfrac{-0{,}83}{4}=-0{,}2075 \textrm{ m/s}&& \\[10pt] v_{\textrm{BE}}&=1+v_{\textrm{AE}}=0{,}61-0{,}2075=0{,}4025 \textrm{ m/s}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-014 | En boll med hastigheten $v$ och massan $m$ kolliderar med en boll i vila med massan $3m$. Bollarna hakar$\textbf{(0/1/1)}$ i varandra vid kollisionen. Hur stor del av den ursprungliga kinetiska energin finns kvar efter kollisionen? |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Svårigheten i denna uppgift ligger i att man skall räkna helt symboliskt, men det är faktiskt bara att köra på precis som i alla andra stötproblem. Den vi söker är alltså ett värde på kvoten $\dfrac{E_{\textrm{k}}(\textrm{före})}{E_{\textrm{k}}(\textrm{efter})}$ $$\begin{align*} E_{\textrm{k}}(\textrm{före})&=\dfrac{mv^2}{2} + 0=\dfrac{mv^2}{2} && \\[10pt] E_{\textrm{k}}(\textrm{efter})&=\dfrac{4mv_\textrm{E}^2}{2} && \end{align*}$$ Vi utnyttjar vidare rörelsemängdens bevarande $$\begin{align*} m\cdot v+ 3m\cdot 0&=4m\cdot v_\textrm{E} \Longrightarrow v= 4v_\textrm{E} && \end{align*}$$ Nu kan vi teckna kvoten och göra lite algebra $$\begin{align*} \dfrac{E_{\textrm{k}}(\textrm{före})}{E_{\textrm{k}}(\textrm{efter})}&= \dfrac{\quad\dfrac{mv^2}{2}\quad}{\dfrac{4mv_\textrm{E}^2}{2}}=\dfrac{\quad \dfrac{ m\cdot \left(4v_\textrm{E}\right)^2}{2}\quad}{\dfrac{4mv_\textrm{E}^2}{2}} = \dfrac{16v_\textrm{E}}{4v_\textrm{E}} =4 && \end{align*}$$ För att uttrycka detta med ord så har vi alltså 25 % av rörelseenergin kvar efter stöten. |
|||||||||
| p-015 | En kula som väger 0,48 kg hänger i ett snöre. Kulan förs åt sidan och släpps sedan. När snöret är lodrätt träffar kulan sidan på en kloss som är i vila. Kulan är då 1,5 m lägre än från början. | ||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| p-016 | Två bilar, A och B, rör sig i samma riktning på en mycket halkig is. Bil A väger 1 400 kg och bil B väger 1 000 kg och rör sig med 8,0 m/s. Bil A kolliderar med bil Bs bakdel så att bilarna fastnar ihop och fortsätter röra sig i samma riktning som förs kollisionen. Just efter kollisionen rör sig bilarna tillsammans med 15 m/s. | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| p-017 | Sverige deltar i det europeiska forskningsprogrammet SMART1 (Small Missions for Advanced Research and Technology). I SMART1 används Solar Electric Propulsion som en så kallad jonmotoer. Xenonjoner skjuts ut från satelliten med farten 3 500 m/s. I uppgifter från ESA (European Space Agency) kan man läsa att jonmotorn i SMART1 kan ge en accelererande kraft på 70 mN under 7 000 timmar. | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| p-018 | Läs bifogade tidningsnotis! $\textbf{(1/2/2)}$ Som du ser har man använt ordet "tryck" felaktigt. När nöten träffar huvudet, utsätts detta för en stor kraft under en kort tid. Denna kraft ger upphov till ett stort tryck på huvudet. Uppskatta hur stort trycket kan vara! Motivera dina antaganden. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Impulslagen ger att $$\begin{align*} F\cdot \Delta t&=m\cdot \Delta v&&\\[10pt] F&=\dfrac{m\cdot (v_2-v_1)}{\Delta t}&& \end{align*}$$ Vi vet också att $m=4$ kg och energiprincipen ger att $v_1=\sqrt{2gh}\approx 22$ m/s då $h=25$ m. Antag vidare att $v_1\approx 0$ m/s och $\Delta t$ 1 ms. Kraften ges då av $$\begin{align*} F&=\dfrac{m\cdot (v_2-v_1)}{\Delta t}=\dfrac{4\cdot (22-0)}{0.1\cdot 10^{-3}}=88 \textrm{ kN}&& \end{align*}$$ motsvarande tyngden av 10 ton alltså! Antag arean av träffytan motsvarar 2 cm$^2$, detta ger trycket. $$\begin{align*} P&=\dfrac{F}{A}=\dfrac{88\cdot 10^3}{2\cdot 10^{-4}}=44\cdot 10^7\textrm{ N/m$^2$}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| p-019 | En vagn med massan 0,34 kg rör sig på ett friktionsfritt underlag med 1,2 m/s då den kolliderar elastiskt med en stillastående vagn. Efter kollisionen fortsätter den första vagnen i sin ursprungliga riktning med 0,65 m/s. | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
Det finns en liten genväg i fallet med fullständigt elastiska stötar. På sidan 35 i formelsamlingen finns en användbar formel som enbart gäller just för dessa fullständigt elastiska stötar. $v-u=u_0-v_0$, de relativa hastigheterna är lika stora före och efter, oberoende av föremålens massor! Det är därför lättare att lösa b) först och sedan a).
|
|||||||||
| t-001 | Snöskor ger dig möjlighet att gå i lös snö utan att du sjunker igenom.$\textbf{(2/0/0)}$ Trycket mot snön bör dock inte överstiga 5,5 kPa för att man inte ska sjunka så djupt. Vilken är den minsta area en snösko bör ha för att du ska kunna gå i lössnö? | ||||||||
|
|||||||||
|
Följande samband behövs: $$\begin{align*} F&=m \cdot g \quad \textrm{och}\quad p=\dfrac{F}{A}&& \end{align*}$$ Antag att en person väger 75 kg $$\begin{align*} A_\textrm{min}&=\dfrac{F}{p}=\dfrac{mg}{p}=\dfrac{75\cdot 9{,}82}{5\,500}=0{,}134 \textrm{ m$^2$}=13{,}4 \textrm{ dm$^2$}&& \end{align*}$$ Varje sko måste ha denna area eftersom man ''står'' på ett ben i taget när man går. |
|||||||||
| t-002 | En giraffs huvud kan sitta 5 m över marken och hjärtat på ungefär halva den höjden.$\textbf{(1/2/1)}$ Blodtrycket (övertrycket) i hjärnan är 13 kPa, medan det i hjärtat är 35 kPa. Anna tror att det beror på skillnaden i atmosfärs-tryck, eftersom lufttrycket är lägre på högre höjd. Lisa tror att det beror på "blodpelaren" i den långa halsen. Vad tror du? Utred, med hjälp av beräkningar, de båda faktorernas inverkan. |
||||||||
|
|||||||||
|
Tryckskillnaden kan inte förklaras av skillnad i atmosfärstryck med 2,5 meters höjd eftersom den är ungefär. $$\begin{align*} p_\textrm{luft}&=\varrho_\textrm{luft}\cdot g \cdot h=1{,}3 \cdot 9{,}82 \cdot 2{,}5=32 \textrm{ Pa} && \end{align*}$$ Vätsketrycket av en 2,5 m vattenpelare är $$\begin{align*} p_\textrm{blod}&=\varrho_\textrm{blod}\cdot g \cdot h=997\cdot 9{,}82 \cdot 2{,}5=24{,}5 \textrm{ kPa} && \end{align*}$$ Skillnaden i tryck mellan och hjärtat och hjärnan är $35-13=22$ kPa, vilket är något mindre än de 24,5 kPa vi beräknat, men det kan i huvudsak förklara tryckskillnaden. |
|||||||||
| t-003 | Ett runt glas står på ett bord. Glaset väger 250 g och trycket på bordet från glaset är 0,55 kPa. $\textbf{(2/0/0)}$ Vilken radie har glaset? |
||||||||
|
|||||||||
|
Arean på glasets botten ges av $A=\pi r^2$ och tyngdkraften som jorden drar i glaset med ner mot bordet är $F=mg=0{,}25\cdot 9{,}82$. Man får $$\begin{align*} p&=\dfrac{F}{A} \quad \Longrightarrow \quad A=\dfrac{F}{p}&&\\[10pt] \pi r^2&=\dfrac{mg}{p}=\dfrac{0{,}25\cdot 9{,}82}{0{,}55\cdot 10^3}&&\\[10pt] r&=\sqrt{\dfrac{0{,}25\cdot 9{,}82}{\pi\cdot 0{,}55\cdot 10^3}}=3{,}8\textrm{ cm}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-004 | Marianergraven är världens djupaste djuphavsgrav. Den ligger i västra Stilla havet och dess största djup är 11 034 m. $\textbf{(2/0/0)}$ Den är alltså djupare än vad Mount Everest är högt. Hur stort är det totala trycket längst ner i Marianergraven? |
||||||||
|
|||||||||
|
Det totala trycket på botten är lufttrycket $p_0$ + vattentrycket $\varrho hg$. $$\begin{align*} p&=p_0+\varrho hg=101\,300 + 997\cdot 11\,034\cdot 9{,}82=108 \textrm{ MPa}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-005 | En patient ska få en injektion med en spruta. Sjukvårdspersonalen läser i bruksanvisningen att de$\textbf{(0/2/0)}$ ska använda en spruta som ger så lågt tryck i kroppsvävnaden som möjligt. Vilken av sprutorna A eller B ska personalen välja om samma kraft, F, anbringas på sprutorna och injektionsnålarna har samma dimension? Motivera valet. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Trycket p.g.a. den anbringade kraften fortplantas i hela vätskan och ges av $p=\frac{F}{A}$. Vi bortser från det tryck vätskepelaren åstadkommer. Den större sprutan har större kolvarea. Trycket blir mindre i den större sprutan, spruta B. |
|||||||||
| t-006 | Du är på väg ut i vattnet vid en strand där bottnen är stenig. Till att börja med gör det väldigt $\textbf{(1/1/0)}$ ont i fötterna då du går på stenarna men efterhand som det blir djupare känns det mindre. Då du så småningom har vatten upp i brösthöjd känns inte stenarna längre så smärtsamma. Förklara detta! |
||||||||
|
|||||||||
| Personen påverkas av en lyftkraft från vattnet enligt Arkimedes princip. Denna lyftkraft blir större ju längre ut i vattnet personen kommer eftersom den undanträngda vätskevolymen då blir större. I varje ögonblick när personen står stilla är kroppen i jämvikt. Kraftresultanten är m.a.o. noll. Nedåt verkar tyngden som är konstant. Uppåt verkar dels normalkraften från bottnen dels vattnets lyftkraft. En ökande lyftkraft medför en minskande normalkraft och därmed mindre smärta. | |||||||||
| t-007 | En kopparkula med temperaturen 300$^{\circ}$ C och massan 1,0 kg läggs i en skål med 1,5 dm$^3$ $\textbf{(1/1/0)}$ vatten med temperaturen 22$^{\circ}$ C. Bestäm storlek och riktning på de krafter som verkar på kulan när den ligger i skålen och är helt täckt av vatten. |
||||||||
|
|||||||||
|
För att svara på frågorna om krafterna behövs inte uppgifterna om temperatur! Däremot behöver man beräkna volymen av kulan och då behövs densiteten för koppar, som är $\varrho=8{,}93$ g/cm$^3$. Detta ger att volymen på kulan blir $$\begin{align*} V&=\dfrac{m}{\varrho}=\dfrac{1\,000}{8{,}93}=112 \textrm{ cm$^3$}&& \end{align*}$$ Tyngdkraften $F_g$ fås till $$\begin{align*} F_g&=mg=1\cdot 9{,}82=9{,}82 \textrm{ N nedåt}&& \end{align*}$$ Lyftkraften $F_L$ fås till $$\begin{align*} F_L&=\varrho Vg=997\cdot 112\cdot 10^{-6}\cdot 9{,}82=1{,}1 \textrm{ N uppåt}&& \end{align*}$$ Normalkraften $F_N$ blir nu $$\begin{align*} F_N&=F_g - F_L=9{,}8 - 1{,}1 = 8{,}7 \textrm{ N uppåt}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-008 | På en noggrann våg står en bägare med vatten. Du sticker ner ett finger i vattnet utan att $\textbf{(0/2/0)}$ nudda vid glaset. Kommer något att hända med vågens utslag? Motivera. |
||||||||
|
|||||||||
| När fingret sticks ner kommer vatten motsvarande fingrets volym att trängas undan. Vågens utslag kommer att öka motsvarande massan av den undanträngda vattenvolymen. | |||||||||
| t-009 | En varmluftsballong med volymen 500 m$^3$ svävar fritt utan att röra sig. Luften utanför ballongen $\textbf{(0/1/1)}$ har densiteten 1,20 kg/m$^3$. Varmluften inne i ballongen har densiteten 0,75 kg/m$^3$. Beräkna den samlade massan hos ballonghöljet, korgen och lasten. |
||||||||
|
|||||||||
Ungefär såhär kan det se ut. Kraftjämvikten ger följande $$\begin{align*} F_{\textrm{flyt}} &= F_{\textrm{tyngd}} &&\\[10pt] \rho_{\textrm{luft}} V_{\textrm{ballong}} g &= mg && \end{align*}$$ Massan kan nu beräknas $$\begin{align*} m&=\rho_{\textrm{luft}} V_{\textrm{ballong}} =1{,}20 \cdot 500=600\textrm{ kg}&& \end{align*}$$ Denna massa inkluderar även varmluften inuti ballongen, denna subtraherar vi bort. $$\begin{align*} m_{\textrm{varmluft}}&=\rho_{\textrm{varmluft}} V_{\textrm{ballong}} =0{,}75 \cdot 500=375\textrm{ kg}&& \end{align*}$$ Nu kan vi bestämma den samlade massan hos ballonghöljet, korgen och lasten. Den sökta massan blir $m=225$ kg. |
|||||||||
| t-010 | En kloss med densiteten 700 kg/m$^3$ flyter i en vätska med densiteten 1 100 kg/m$^3$. Klossen är $s=8{,}0$ cm hög.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| t-011 | En furuplanka med dimensionerna 20 x 150 x $2\,400$ mm placeras på en stillastående vattenyta. $\textbf{(1/2/0)}$ Hur mycket kan man lasta på plankan om vattennivån högst får nå upp till plankans överkant? Fur har densiteten 0,52 g/cm$^3$. |
||||||||
|
|||||||||
|
Med hjälp av Arkimedes princip kan vi beräkna furuplankas maximala lyftkraft, den fås ju om plankan helt trycks ner under ytan och lyftkraften blir då. $$\begin{align*} F_\textrm{Lmax}&=\varrho_\textrm{vatten} \cdot V_\textrm{planka} \cdot g=1\,000\cdot (0{,}020\cdot 0{,}150 \cdot 2{,}4)\cdot g && \end{align*}$$ Subtraherar vi nu bort tyngden av plankan själv så har vi kvar tyngden av den maximala lasten. Dividera med tyngdaccelerationen och vi får motsvarande massa. $$\begin{align*} m_\textrm{last}&=\dfrac{F_\textrm{Lmax}-F_\textrm{g}}{g}=&& \\[10pt] &=\dfrac{1\,000\cdot (0{,}020\cdot 0{,}150 \cdot 2{,}4)\cdot g - 520\cdot (0{,}020\cdot 0{,}150 \cdot 2{,}4)\cdot g}{g} && \\[10pt] &=1\,000\cdot (0{,}020\cdot 0{,}150 \cdot 2{,}4) - 520\cdot (0{,}020\cdot 0{,}150 \cdot 2{,}4)=3{,}5 \textrm{ kg} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-012 | En träbit med måtten $l\cdot b \cdot h=20 \cdot 20 \cdot 5$ cm läggs i en kanna med vatten. $\textbf{(0/2/0)}$ Träbiten flyter så att 1,8 cm av den sticker upp över vattenytan. Beräkna träets densitet. |
||||||||
|
|||||||||
|
Sätt upp kraftjämvikt med hjälp av Arkimedes. $$\begin{align*} F_\textrm{L}&=F_\textrm{g} &&\\[10pt] \varrho_\textrm{vatten}\cdot V_\textrm{träbit ned} \cdot g &=m_\textrm{träbit}\cdot g && \end{align*}$$ Ur detta kan massan för träbiten skrivas som $$\begin{align*} m_\textrm{träbit}&=\varrho_\textrm{vatten}\cdot V_\textrm{träbit ned} && \end{align*}$$ Densiteten för träbiten kan nu tecknas enligt $$\begin{align*} \varrho_\textrm{träbit}&=\dfrac{m_\textrm{träbit}}{V_\textrm{träbit}}=\dfrac{\varrho_\textrm{vatten}\cdot V_\textrm{träbit ned}}{V_\textrm{träbit ned}} && \\[10pt] &=\varrho_\textrm{vatten}\cdot \dfrac{ V_\textrm{träbit ned}}{V_\textrm{träbit}}=1\,000\cdot \dfrac{20\cdot 20\cdot 3{,}2}{20\cdot 20\cdot 5} && \\[10pt] &=1\,000\cdot \dfrac{3{,}2}{ 5}= 640 \textrm{ kg/m$^3$} && \end{align*}$$ Som man ser i lösningen avspeglar sig förhållandet mellan densiteterna i förhållandet mellan hur stor del av träbiten som är under ytan i förhållande till hela träbiten. Det finns alltså en genväg i denna uppgiften för den som inser detta! $$\begin{align*} \varrho_\textrm{trä}&=\varrho_\textrm{vatten} \cdot\dfrac{5-1{,}8}{5} =1\,000 \cdot\dfrac{3{,}2}{5}=640 \textrm{ kg/m$^3$} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-013 | Anna och Sofia är på väg till ett tivoli och får syn på en varmluftsballong. Anna, som kan sin fysik, $\textbf{(0/2/1)}$ förklarar hur den kan sväva i luften. Väl framme på tivolit köper Sofia en ballong fylld med helium. Hon måste hålla fast ballongen för att den inte ska flyga iväg. ''Varför har ingen uppfunnit en gas så att en liten tivoliballong kan sväva iväg med mig?'' undrar Sofia. Vad tycker du att Anna ska svara? Går det eller går det inte? Utveckla de fysikaliska skälen. |
||||||||
|
|||||||||
|
Exempel på förklaring. Enligt Arkimedes princip är lyftkraften tyngden av den undanträngda luften. För att få en tillräckligt stor lyftkraft för att lyfta Sofia med ballong så krävs det att ballongens volym är mycket större än Sofias. Antag exempelvis att Sofia väger 65 kg, om vi bara beräknar vilken volym luft som har motsvarande lyftkraft får man $$\begin{align*} V&=\dfrac{F_L}{\varrho g}=\dfrac{65\cdot 9{,}82}{1{,}29 \cdot 9{,}82}=50 \textrm{ m$^3$}&& \end{align*}$$ då har vi inte tagit hänsyn till tyngdkraften på ballongen eller heliumgasen, det kommer att behövas en ordentligt stor ballong hur som helst! Lyftkraften på en normal ballong på 6 liter är $$\begin{align*} F_L&=\varrho Vg=1{,}29 \cdot 0{,}006 \cdot 9{,}82=0{,}076 \textrm{ N}&& \end{align*}$$ vilket inte på långa vägar räcker. |
|||||||||
| t-014 | Normal kroppstemperatur är cirka 37 $^{\circ}$C Hur många grader Kelvin motsvarar detta?$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Temperaturen ges av $$\begin{align*} T_K&=T_C + 273&&\\[10pt] T_K&=37 + 273=310 \text{ K}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-015 | Den lägsta temperatur som någonsin uppmätts på jordytan är $-89$ $^{\circ}$C. Hur många grader Kelvin motsvarar detta?$\textbf{(1/0/0)}$ Hur många grader Kelvin motsvarar detta? |
||||||||
|
|||||||||
|
Temperaturen ges av $$\begin{align*} T_K&=T_C + 273&&\\[10pt] T_K&=-89 + 273=184 \text{ K}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-016 | Kväve övergår från gas till flytande form, eller tvärtom, vid 77 K. (77 grader Kelvin). $\textbf{(1/0/0)}$ Hur många grader Celsius motsvarar detta? |
||||||||
|
|||||||||
|
Temperaturen ges av $$\begin{align*} T_K&=T_C + 273&&\\[10pt] 77&=T_C + 273&&\\[10pt] T_C&=77 - 273 = -196 \text{ C$^\circ$}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-017 | En behållare innehåller gas med trycket $p_0=5{,}0$ MPa och temperaturen $T_0=17$ $^{\circ}$C.$\textbf{(1/1/0)}$ Behållaren tål ett tryck på högst $p_1=15$ MPa. Vilken är den högsta temperatur behållaren kan utsättas för utan att trycket blir för stort? |
||||||||
|
|||||||||
|
Volymen hålls konstant i behållaren. Gaslagen blir då Gay-Lussacs lag, dvs. $$\begin{align*} \dfrac{p_0}{T_0}&=\dfrac{p_1}{T_1} && \end{align*}$$ Lös ut $T_1$ och stoppa in de kända värdena. OBS Temperatur i Kelvin! $$\begin{align*} T_1&=\dfrac{p_1T_0}{p_0}=\dfrac{15\cdot 10^6 \cdot 290}{5{,}0\cdot 10^6}=870 \textrm{ K}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-018 | Hemma hos Ibrahim finns ett stort fönster med måtten 3,2 m x 1,8 m. En dag när en storm $\textbf{(2/0/0)}$ har passerat sjunker trycket utomhus till 96,2 kPa. Inne i huset är trycket 101,3 kPa. Hur stor är den resulterande kraften på fönsterrutan och åt vilket håll är den riktad? |
||||||||
|
|||||||||
|
Resultanten av tryckkrafterna skall beräknas $$\begin{align*} F&=p\cdot A && \end{align*}$$ Resultantkraften! $$\begin{align*} F_{\textrm{res}}&= F_{\textrm{inne}} - F_{\textrm{ute}} &&\\[10pt] &= 101\,300 \cdot 3{,}2 \cdot 1{,}8 - 96\,200 \cdot 3{,}2 \cdot 1{,}8 =29{,}4 \textrm{ kN utåt}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| t-019 | En luftbubbla på 15 cm$^3$ finns på botten på en sjö som är 38 m djup. Temperaturen på sjöbottnen$\textbf{(2/1/0)}$ är 4,0 $^{\circ}$C. Bubblan stiger till ytan, där temperaturen är 20 $^{\circ}$C. Om vi antar att luften i bubblan får samma temperatur som temperaturen i vattnet hur stor volym har bubblan när den når ytan? |
||||||||
|
|||||||||
|
Gaslagen ger oss svaret. $$\begin{align*} \dfrac{p_0V_0}{T_0}&=\dfrac{p_1V_1}{T_1} && \end{align*}$$ Stoppa in de kända värdena. OBS Temperatur i Kelvin! $$\begin{align*} \dfrac{(101300+997\cdot 38\cdot 9{,}82)15}{277}&=\dfrac{101300V_1}{293}&& \end{align*}$$ Lös ut volymen. $$\begin{align*} V_1&=\dfrac{(101300+997\cdot 38\cdot 9{,}82)15\cdot 293}{277\cdot 101300}=74{,}1 \textrm{ cm$^3$}&& \end{align*}$$ |
|||||||||
| tf-001 | Räkna om kokpunkten för kväve på $T_C=-196^{\circ}$C till absolut temperatur.$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Omvandling mellan absolut temperatur $T_K$ och Celsiusgrader $T_C$ sker enligt $\begin{align*} T_K&=T_C + 273&& \end{align*}$ Svar: $T_K=-196+273=77^{\circ}$K |
|||||||||
| el-001 | En positivt laddad stav förs närmare ett positivt laddat elektroskop, utan att vidröra det.$\textbf{(2/0/0)}$ Se figur. Förklara vad som händer.  |
||||||||
|
|||||||||
| Den positivt laddade staven gör att elektroner kommer att dras till elektroskopets övre del på grund av influens. Detta leder till att "visarna" kommer att få ett större underskott av elektroner varvid utslaget på elektroskopet ökar. | |||||||||
| kf-001 | En atom sänder spontant ut en foton med energin 0,5 eV.$\textbf{(1/0/0)}$ Vilket av följande alternativ är den mest troliga förklaringen till händelsen? |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| Alternativ E | |||||||||
| kf-002 | Figuren nedan visar ett energinivådiagram med tre övergångar A, B och C. $\textbf{(1/1/0)}$ Övergångarna motsvarar våglängderna 103 nm, 122 nm och 656 nm. Kombinera övergångarna med rätt våglängd. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
I ett energinivådiagram motsvaras längden på övergången av energin, således är den kortaste längden, B i detta fall, den övergång med lägst energi. Beräkna nu motsvarande foton-energier för övergångarna. $\begin{align*} E_{103}&=\dfrac{hc}{\lambda_{103}}=\dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}{103\cdot 10^{-9}}=19{,}2\cdot 10^{-19} \textrm{ Joule}=12{,}0 \textrm{ eV}&&\\ E_{122}&=\dfrac{hc}{\lambda_{122}}=\dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}{122\cdot 10^{-9}}=16{,}3\cdot 10^{-19} \textrm{ Joule}=10{,}2 \textrm{ eV}&&\\ E_{656}&=\dfrac{hc}{\lambda_{656}}=\dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}{656\cdot 10^{-9}}=3{,}0\cdot 10^{-19} \textrm{ Joule}=1{,}89 \textrm{ eV}&& \end{align*}$ Alltså måste A motsvara 122 nm, B hör till 656 nm och C till 103 nm. |
|||||||||
| kf-003 | Vid dessa sänds det ut ljus med våglängderna 486 nm respektive 656 nm. $\textbf{(0/2/1)}$ Beräkna energin för nivå B. |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Beräkna motsvarande foton-energier för dessa båda övergångar. $\begin{align*} E_{486}&=\dfrac{hc}{\lambda_{486}}=\dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}{486\cdot 10^{-9}}=4{,}1\cdot 10^{-19} \textrm{ Joule}=2{,}55 \textrm{ eV}&&\\ E_{656}&=\dfrac{hc}{\lambda_{656}}=\dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}{656\cdot 10^{-9}}=3{,}0\cdot 10^{-19} \textrm{ Joule}=1{,}89 \textrm{ eV}&& \end{align*}$ Ur dessa siffror drar vi slutsatsen att övergången A$\rightarrow$C måste tillhöra våglängden 486 nm osv. Alltså fås B-nivån som $-0{,}85$ minus skillnaden mellan AC och BC $\begin{align*} \textrm{B-nivån}&=-0{,}85-(2{,}55-1{,}89)=-1{,}51 \textrm{ eV}&& \end{align*}$ |
|||||||||
| kf-004 | Figuren nedan visar en del av ett energi-nivådiagram för en atom. $\textbf{(0/2/0)}$ Energierna för de lägsta nivåerna är givna. |
||||||||
 |
|||||||||
| Atomen befinner sig i sitt grundtillstånd. Beräkna våglängden för den strålning som absorberas vid excitation till nivå 2. | |||||||||
|
|||||||||
|
Skillnanden i energi mellan nivå 1 och 2 är $-3{,}9 - (-7{,}2)=3{,}3$ eV$=3{,}3\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}=5{,}29\cdot 10^{-19}$ J.  Förhållandet mellan fotonens energi och dess våglängd beskrivs av $E=\dfrac{hc}{\lambda}$ $\begin{align*} \lambda_{3{,}3}&=\dfrac{hc}{E}=\dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}{5{,}29\cdot 10^{-19}}=3{,}76\cdot 10^{-7} \textrm{ m}=376 \textrm{ nm}&& \end{align*}$ Det krävs en energi motsvarande ljus med våglängden 376 nm för att excitera atomen från grundtillståndet $(n=1)$ upp till nivå 2 $(n=2)$. |
|||||||||
| kf-005 | Skriv symbolen för en nuklid med | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-006 | Medelmassan på en atom som bygger upp jorden är 40 u.$\textbf{(1/1/0)}$ Uppskatta hur många atomer det finns på jorden? |
||||||||
|
|||||||||
|
Jordens massa $m_{\oplus}=5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg 1 u $=1{,}66 \cdot 10^{-27}$ kg $\begin{align*} \text{Antal atomer}=\dfrac{m_{\oplus}}{40\text{ u}}&=\dfrac{5{,}97 \cdot 10^{24}}{40 \cdot 1{,}66 \cdot 10^{-27}}=9\cdot 10^{49} \text{ stycken}&& \end{align*}$ Alltså rätt många 😊! |
|||||||||
| kf-007 | Den i naturen vanligast förekommande kolatomen har en kärna med $\textbf{(1/1/0)}$ massan 12 u och radien 3,0 fm. Beräkna kärnans densitet. |
||||||||
|
|||||||||
|
Densiteten kan beräknas om vi vet massan och volymen för $\ce{^{12}_{6}C}$. Massan fås ur $\begin{align*} m\left(\ce{^{12}_{6}C}\right)=&12\cdot 1{,}66 \cdot 10^{-27}=1{,}99 \cdot 10^{-26}\textrm{ kg}&& \end{align*}$ Volymen för kolatomen ges av $\begin{align*} V\left(\ce{^{12}_{6}C}\right)=&\dfrac{4\pi r^3}{3}=\dfrac{4\pi \left(3{,}0 \cdot 10^{-15}\right)^3}{3}=1{,}13 \cdot 10^{-43}\textrm{ kg}&&\end{align*}$ Densiteten blir $\begin{align*} \varrho\left(\ce{^{12}_{6}C}\right)=&\dfrac{m}{V}=\dfrac{1{,}99 \cdot 10^{-26}}{1{,}13 \cdot 10^{-43}}=1{,}76 \cdot 10^{17} \textrm{ kg/m$^3$}&& \end{align*}$ Jämfört med guld som har densiteten $\varrho=19\,300$ kg/m$^3$. Guld är ett av de tätaste grundämnena på jorden! Kolkärnan är ungefär 14 storleksorningar tätare. Eller uttryckt såhär, en vanlig speltärning gjord av endast atomkärnmaterial skulle väga ungefär 175 miljoner ton! Det är ungefär 1000 fullastade supertankers! |
|||||||||
| kf-008 | Ange antalet elektroner, protoner och neutroner i en atom av nukliderna nedan. | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-009 | Energin som frigörs från solen orsakas av kärnprocesser i solens inre. Väte omvandlas till$\textbf{(1/0/0)}$ helium. Du kan som en förenklad reaktionsmekanism tänka dig att två protoner och två neutroner bildar en heliumkärna. Varför frigörs energi vid denna process? Vilket av följande alternativ är det rätta? |
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| B) Massan hos heliumkärnan är mindre än den sammanlagda massan av protonerna och neutronerna och därför frigörs energi när heliumkärnan bildas. | |||||||||
| kf-010 | Fyll i tabellen nedan!$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
 |
|||||||||
| kf-011 | Nedan finns angivet tre stycken nuklider som har masstalet 23. $\textbf{(0/2/1)}$ Beräkna bindningsenergin/nukleon för dessa tre nuklider. Vilken slutsats kan du dra av dina beräkningar? |
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
Bindningsenergin för en nuklid beräknas som skillnaden mellan summan av de fria partiklarnas massa och det bundna tillståndet. Man får bindningsenergin per nukleon för de tre nukliderna enligt. $\begin{align*} \ce{^{23}_{9}F}=&\dfrac{\left(9\cdot 5{,}4858 \cdot 10^{-4}+9 \cdot 1{,}007276+14 \cdot 1{,}008665-23{,}00357\right)\cdot 931{,}49}{23}&&\\ =&7{,}62\textrm{ MeV/nukleon}&&\\ \phantom{a} \\ \ce{^{23}_{11}Na}=&\dfrac{\left(11\cdot 5{,}4858 \cdot 10^{-4}+11 \cdot 1{,}007276+12 \cdot 1{,}008665-22{,}98977\right)\cdot 931{,}49}{23}&&\\ =&8{,}11\textrm{ MeV/nukleon}&&\\ \phantom{a} \\ \ce{^{23}_{12}Mg}=&\dfrac{\left(12\cdot 5{,}4858 \cdot 10^{-4}+12 \cdot 1{,}007276+11 \cdot 1{,}008665-22{,}99412\right)\cdot 931{,}49}{23}&&\\ =&7{,}90\textrm{ MeV/nukleon}&& \end{align*}$ Slutsats: Natrium är mest stabil och Fluor minst stabil. |
|||||||||
| kf-012 | Uranisotopen $\ce{^{232}_{92}U}$ sönderfaller genom att sända ut alfapartiklar.$\textbf{(1/0/0)}$ Ange kemisk beteckning, atomnummer och masstal för dotterkärnan. |
||||||||
|
|||||||||
|
Sönderfallet blir enligt $\ce{^{232}_{92}U} \ce{ -> } \ce{^{228}_{90}Th} + \ce{^{4}_{2}He}$ Dotterkärnan: Isotopen med masstalet 228 av grundämnet Thorium. Kan också skriva isotopen som Thorium-228. |
|||||||||
| kf-013 | Uranisotopen $\ce{^{238}_{92}U}$ kan fånga in en neutron. Den kärna som bildas
är instabil och genomgår$\textbf{(1/0/0)}$ två stycken betasönderfall ($\beta^-$). Bestäm slutprodukten och dess masstal. |
||||||||
|
|||||||||
|
Sönderfallet blir enligt $\begin{align*} \ce{^{238}_{92}U} + \ce{^{1}_{0}n} \ce{ -> }& \ce{^{239}_{92}U} &&\\ \ce{^{239}_{92}U} \ce{ -> }& \ce{^{239}_{93}Np} + \ce{^{0}_{-1}e} + \ce{^{}_{}\bar{\nu}_e}&&\\ \ce{^{239}_{93}Np} \ce{ -> }& \ce{^{239}_{94}Pu} + \ce{^{0}_{-1}e} + \ce{^{}_{}\bar{\nu}_e}&& \end{align*}$ Slutprodukt: Plutonium $\ce{^{239}_{94}Pu}$ |
|||||||||
| kf-014 | Bestäm partikeln X i följande kärnreaktioner | ||||||||
| |||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-015 | Svara på följande frågeställningar om massenergi | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-016 | Vi sänder alfapartiklar, var och en med kinetiska energin $8{,}0\cdot 10^{-13}$ J, in mot en folie av bor. När alfapartiklarna träffar folien kan det sändas ut neutroner från folien. | ||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-017 | En kärnreaktion kan gå till på följande sätt: $\textbf{(1/2/0)}$ $\gamma + \ce{^{2}_{1}H} \ce{ -> } \ce{^{1}_{1}H} + \ce{^{1}_{0}n}$ Vad händer i denna reaktion? Hur stor energi måste gammakvantat minst ha för att reaktionen ska ske? |
||||||||
|
|||||||||
|
En gammafoton slår loss en neutron ur en deuteriumkärna (tungt väte $\ce{^{2}_{1}H}$). Vi sätter upp före minus efter för energin och bestämmer gränsen, här kallad $x$, för hur stor energi som gammafotonen måste ha. $\begin{align*}
\Delta m&=\color{red}\Big(\color{black} x+ m\left(\ce{^{2}_{1}H}\right) \color{red}\Big)\color{black} - \color{red}\Big(\color{black}m\left(\ce{^{1}_{1}H}\right) + m\left(\ce{^{1}_{0}n} \right)\color{red}\Big)\color{black} =0 &&
\end{align*}$
OBS! Ingen svag växelverkan, alltså inget proton/neutron sönderfall, i denna kärnreaktion. Det betyder att vi har ett nollsummespel mellan elektronerna och lika många före som efter! Ta nuklidmassorna ur tabellen och lös ut $x$ och omvandla till lämpliga enheter. $\begin{align*}
x&=m\left(\ce{^{1}_{1}H}\right) + m\left(\ce{^{1}_{0}n}\right) - m\left(\ce{^{2}_{1}H}\right) &&\\[5pt]
x&=1{,}007825032 + 1{,}0086649- 2{,}01410177 = 0{,}002388162 \textrm{ u} &&\\[5pt]
&= 0{,}002388162 \cdot 931{,}49 = 2{,}224549\textrm{ MeV} \approx 2{,}2 \textrm{ MeV} &&\\[5pt]
&=2{,}224549\cdot 10^6 \cdot 1,602\cdot 10^{-19} \approx 3,6\cdot 10^{-13} \textrm{ J}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-018 | Vi tänker oss att vi ska skapa en neutral $\ce{^{7}_{}Li}$-atom av fria protoner, neutroner och elektroner.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-019 | Den radioaktiva nukliden $\ce{^{198}_{}Au}$ kan genom betastrålning omvandlas till $\ce{^{198}_{}Hg}$ på tre olika sätt. Se figuren. När kärnan bildas i grundtillståndet, får betapartiklarna energin $2{,}19\cdot 10^{-13}$ J.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-020 | Atomkärnan $\ce{^{235}_{92}U}$ träffas av en neutron. Då bildas två nya, likadana kärnor och två neutroner sänds ut.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-021 | Energiproduktionen i Solen sker till största delen genom den så kallade proton-proton fusionen. Förenklat kan den sammanfattas med reaktionen $\begin{equation*} 4\left(\ce{^{1}_{1}H}\right) + 2 \left(\ce{^{0}_{-1}e^-}\right) \ce{ -> } \ce{^{4}_{2}He} + 2\ce{\nu_e} + \textrm{Energi} \end{equation*}$ |
||||||||
På en sekund utstrålar Solen energin $3{,}9\cdot 10^{26}$ J. |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-022 | Beräkna den frigjorda massenergin när ett halvt gram materia$\textbf{(2/0/0)}$ och ett halvt gram antimateria annihilerar varandra. |
||||||||
|
|||||||||
|
Energin ges direkt av $\begin{align*}
E &=(0{,}0005+0{,}0005)\cdot (3\cdot 10^8)^2=9{,}0\cdot 10^{13} \textrm{ J}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-023 | Ett ämnesprov innehållande Thorium träffas av neutroner. Svara på följande frågor.
|
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-024 | Bestäm masstal och atomnummer för slutkärnan om kärnan $\ce{^{A}_{B}X}$ sönderfaller med
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-025 | Komplettera reaktionsformeln $\ce{X} + \ce{^{4}_{2}He} \ce{ -> } \ce{^{16}_{8}O} $ $\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Bevarandelagarna för kärnreaktioner ger att $\begin{align*}
\ce{^{12}_{6}C} + \ce{^{4}_{2}He} \ce{ -> }& \ce{^{16}_{8}O}&&
\end{align*}$
Den okända kärnan är kol-12 $\ce{^{12}_{6}C}$ som tar upp en alfa-partikel och bildar syre-16. |
|||||||||
| kf-026 | Isotopen $\ce{^{64}_{29}Cu}$ är ovanlig då den kan sönderfalla både med
$\gamma$-, $\beta^-$- och $\beta^+$-sönderfall.$\textbf{(2/0/0)}$ Vilken är slutkärnan i de olika fallen? Skriv upp de olika reaktionsforrnlerna. |
||||||||
|
|||||||||
|
Sönderfallen blir enligt $\begin{align*} \ce{^{64}_{29}Cu} \ce{ -> }& \ce{^{64}_{29}Cu} && \gamma\\[5pt] \ce{^{64}_{29}Cu} \ce{ -> }& \ce{^{64}_{30}Zn} + \ce{^{0}_{-1}e} + \ce{^{}_{}\bar{\nu}_e}&&\beta^-\\[5pt] \ce{^{64}_{29}Cu} \ce{ -> }& \ce{^{64}_{28}Ni} + \ce{^{0}_{+1}e} + \ce{^{}_{}\nu_e}&&\beta^+ \end{align*}$ |
|||||||||
| kf-027 | Nukliden $\ce{^{210}_{84}Po}$ är alfastrålare. Skriv formeln för dess sönderfall.$\textbf{(1/0/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Sönderfallen blir enligt $\begin{equation*}
\ce{^{210}_{84}Po} \ce{ -> } \ce{^{206}_{82}Pb} + \ce{^{4}_{2}He}
\end{equation*}$
Not. Ett gram av grundämnet polonium-210 kan i teorin döda omkring 10 miljoner människor, dessutom är det ett ämne som är svårt att upptäcka. Ämnet förekommer i naturen i små mängder överallt omkring oss och är helt ofarligt. Det blir farligt först om det hamnar i vår mat. Enligt schweiziska forskare dödades Yasser Arafat med 83 procents sannolikhet av poloniumförgiftning, de hittade ämnet i kvarlevor som 2012 grävdes upp ur Yassir Arafats grav i Ramallah på den ockuperade Västbanken. Ämnet upptäcktes 1898 av Marie Curie och fick namn efter hennes hemland (Polen). Det var det första radioaktiva ämnet som upptäcktes. |
|||||||||
| kf-028 | Genom en serie av sönderfall övergår $\ce{^{235}_{92}U}$ till $\ce{^{207}_{82}Pb}$.$\textbf{(1/1/0)}$ Hur många $\alpha-$ och $\beta-$partiklar emitteras i den här sönderfallsserien? |
||||||||
|
|||||||||
|
$\alpha$-sönderfallet minskar masstalet med 4 och och laddningen med 2 och $\beta$-sönderfallet antingen ökar eller minskar laddningen med 1. Vi kan då ställa upp ett ekvationssystem för att lösa uppgiften. $\begin{align*} \left\{\begin{aligned} 235-4\alpha \color{pink!20}+\beta\color{black} &= 207 \\ 92\color{pink!20}5\color{black} - 2\alpha + \beta &= 82 \end{aligned}\right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{\begin{aligned} \alpha &= 7 \\ \beta &= 4 \end{aligned}\right. \end{align*}$ Vi ser att $\beta$ är positivt 4, det betyder alltså att laddningen ökat med 4 och att det varit fråga om 4 stycken $\beta^-$-sönderfall. Den så kallade actinium-serien är en serie sönderfall som startar med $\ce{^{235}_{92}U}$ och slutar med $\ce{^{207}_{82}Pb}$. Jag hittade den här utmärkta illustrationen över hur sönderfallet sker på wikipedia.  Följer man de olika vägarna ser man att det krävs 7 $\alpha$-sönderfall och 4 $\beta^-$-sönderfall för att nå slutkärnan $\ce{^{207}_{82}Pb}$. |
|||||||||
| kf-029 | Beräkna för nukliden $\ce{^{58}_{28}Ni}$
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-030 | Nukliden $\ce{^{32}_{15}P}$ sönderfaller genom att sända ut en elektron, vars maximala kinetiska energi är 1,71 MeV.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-031 | $\ce{^{18}_{}F}$ sönderfaller med betasönderfall till $\ce{^{18}_{}O}$.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-032 | Bindningsenergin för nukliden $\ce{^{16}_{8}O}$ är 127,6 MeV. Beräkna dess nuklidmassa.$\textbf{(1/2/0)}$ | ||||||||
|
|||||||||
|
Ur vår tabell kan vi avläsa detta direkt enligt $m\left(\ce{^{16}_{8}O}\right)=15{,}9949146196 \textrm{ u}$! Men tanken här är att vi skall beräkna summan av de fria partiklarnas massa och sedan subtrahera bindningsenergin omvandlad till massa. Summan av nukleonernas och elektronernas massor blir. $\begin{equation*}
m(n+p+ e^-)=8\cdot 5{,}4858 \cdot 10^{-4} + 8 \cdot 1{,}007276 +8 \cdot 1{,}008665 = 16{,}13191664\textrm{ u}
\end{equation*}$
Bindningsenergin 127,6 MeV motsvarar massan $\dfrac{127{,}6}{931{,}49}=0{,}13698483$ u. Så nuklidmassan blir då. $\begin{equation*}
m\left(\ce{^{16}_{8}O}\right)=16{,}13191664 - 0{,}13698483= 15{,}99493181 \textrm{ u}
\end{equation*}$
Det skiljer sig åt i 5:e decimalen och detta beror återigen på att bindningsenergin har dålig noggranhet. |
|||||||||
| kf-033 | Bestäm hur mycket energi man får ur denna reaktion.$\textbf{(1/1/0)}$ $\begin{equation*}
\ce{p} + \ce{^{7}_{3}Li} \ce{ -> } \ce{^{4}_{2}He} + \ce{^{4}_{2}He}
\end{equation*}$ |
||||||||
|
|||||||||
|
Kort och gott, energin före minus energin efter, men kom ihåg att det är kärnorna som reagerar och i just denna reaktion så lägger ni märke till att vi har en ojämvikt mellan antalet elektroner före och efter. Så när vi plockar nuklidmassorna ur tabellen (alltså inklusive elektronerna) måste vi kompensera för dessa elektronmassor. $\begin{align*}
\Delta m&=\color{red}\Big(\color{black}m(\ce{p}) + m\left(\ce{^{7}_{3}Li}\right) - 3\cdot m(\ce{^{}_{}e^-})\color{red}\Big)\color{black} - \color{red}\Big(\color{black}2\cdot m\left(\ce{^{4}_{2}He}\right) - 4\cdot m(\ce{^{}_{}e^-}) \color{red}\Big)\color{black} &&\\
&=\color{red}\Big(\color{black}1{,}007276+7{,}01600344 - 3\cdot 0{,}00054858\color{red}\Big)\color{black}&&\\
&\phantom{=} - \color{red}\Big(\color{black} 2\cdot 4{,}0026032541- 4\cdot 0{,}00054858\color{red}\Big)\color{black} &&\\
&=8{,}0216337 - 8{,}003012188 = 0{,}018621512 \textrm{ u} &&
\end{align*}$
energiutbytet blir då $\begin{equation*}
\Delta E=0{,}018621512 \cdot 931{,}49\approx 17{,}3 \textrm{ MeV} \quad \quad (17{,}345566)
\end{equation*}$
|
|||||||||
| kf-034 | Väteisotopen $\ce{^{3}_{1}H}$ är instabil och sönderfaller med betasönderfall.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-035 | Huvuddelen (94,6%) av kärnorna i ett $\ce{^{137}_{55}Cs}$-preparat sönderfaller till en exciterad nivå i dotterkärnan enligt figuren.
|
||||||||
 |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-036 | Nukliden $\ce{^{6}_{3}Li}$ beskjuts med deutroner ($\ce{^{2}_{1}H}$) varvid 2 stycken $\ce{^{4}_{2}He}$ bildas.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-037 | Då $\ce{^{235}_{92}U}$ bestrålas med så kallade termiska neutroner kan en fission erhållas. En av många tänkbara klyvningsprocesser är följande: $\begin{equation*}
\ce{^{235}_{92}U} + \ce{^{1}_{0}n} \ce{ -> } \ce{^{89}_{36}Kr} + \ce{^{A}_{Z}X} + 3\cdot \ce{^{1}_{0}n}
\end{equation*}$
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-038 | Uranisotopen $\ce{^{234}_{92}U}$ sönderfaller genom att sända ut alfapartiklar enligt$\textbf{(1/2/0)}$ $\begin{equation*}
\ce{^{234}_{92}U} \ce{ -> } \ce{^{230}_{90}Th} + \ce{^{4}_{2}He}
\end{equation*}$
Vilken rörelseenergi får alfapartikeln om uran- och thoriumkärnorna kan bektraktas vara i vila? |
||||||||
|
|||||||||
|
Massdefekten beräknas enkelt som skillnaden mellan nuklidmassorna före och efter. $\begin{align*}
\Delta m&= m\left(\ce{^{234}_{92}U}\right) - m\left(\ce{^{230}_{90}Th} \right) - m\left(\ce{^{4}_{2}He}\right) &&\\[5pt]
&= 234{,}0409504 - 230{,}0331324 - 4{,}0026032541 = 0{,}0052147459 \textrm{ u}&&
\end{align*}$
Uttryckt i energi blir detta $\begin{align*}
E&= 0{,}0052147459 \cdot 931{,}49 = 4{,}86 \textrm{ MeV}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-039 | Efter kärnkraftsolyckan i Tjernobyl 1986 spreds bland annat den radioaktiva isotopen $\ce{^{137}_{55}Cs}$ i vissa delar av Sverige.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-040 | Radioaktivt jod med halveringstiden 25 minuter används ofta inom sjukvården för $\textbf{(1/0/0)}$ diagnostisering. Hur stor del av ett preparats aktivitet finns kvar efter 1 h och 40 min? |
||||||||
|
|||||||||
|
Aktiviteten kan beräknas direkt ur sönderfallsformeln. $\begin{align*}
A=& A_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T_{1/2}}}=A_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{100}{25}}=0{,}0625A_0&&
\end{align*}$
Det finns 6,25% kvar. |
|||||||||
| kf-041 | Två preparat A och B, består av samma radioaktiva nuklid. $\textbf{(1/0/0)}$ Preparat A har dubbelt så stor aktivitet som preparat B. Hur är detta möjligt? |
||||||||
|
|||||||||
|
Aktiviteten beror också på hur mycket av ämnet man har och förklaringen är då att det helt enkelt finns dubbelt så mycket av preparat A. Preparatet A väger dubbelt så mycket som preparat B. Det skulle också kunna bero på att preparat B har färdigställt vid en tidigare tidpunkt och därmed har halverats när jämförelsen startar. |
|||||||||
| kf-042 | Med en detektor (geigerräknare) registrerar vi strålningen från en radioaktiv källa. Resultatet har införts i tabellen. 
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-043 | I Amenhotep III´s grav har man hittat en mumie vars innehåll av kol-14 år 1980 uppmättes till 65,5% av det normala innehållet i levande material.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-044 | Luften i ett källarrum innehåller den radioaktiva gasen radon-222. Radonet sipprar in i$\textbf{(0/1/0)}$ rummet genom golvet och väggarna. När rummet inte luftas, visar mätningar att aktiviteten från radongasen håller sig konstant lika med 200 Bq/m$^3$. Källarrummets volym är 130 m$^3$. Hur många radonatomer sipprar in i källar-rummet varje sekund? |
||||||||
|
|||||||||
|
Om aktiviteten är konstant måste det tillkomma lika många radonatomer som det sönderfaller! 200 Bq/m$^3$ ger $200\cdot 130 = 26\,000$ Bq totalt i källaren. |
|||||||||
| kf-045 | I ett prov finns det till att börja med $3{,}2\cdot 10^{16}$ kärnor av ett visst radioaktivt ämne.$\textbf{(0/1/0)}$ Halveringstiden är 45 min. Vid varje radioaktiv omvandling frigörs $5{,}0\cdot 10^{-13}$ J. Hur stor energi har totalt frigjorts under 3,0 timmar? |
||||||||
|
|||||||||
|
Vi konstaterar att 3h i denna uppgift motsvarar exakt 4 halveringstider á 45 minuter. Det betyder alltså att antalet kärnor har minskat med en faktor $16=2^4$. Antal kärnor som sönderfallit blir då $\begin{align*}
N&=3{,}2\cdot 10^{16}-\dfrac{3{,}2\cdot 10^{16}}{16}=3{,}0\cdot 10^{16} \textrm{ stycken} &&
\end{align*}$
Den frigjorda energin blir $\begin{align*} E&=3{,}0\cdot 10^{16} \cdot 5{,}0\cdot 10^{-13}= 15\,000 \textrm{ J} && \end{align*}$ |
|||||||||
| kf-046 | Du har 414 gram av den radioaktiva isotopen Radon-220 $\ce{^{220}_{86}Rn}$. $\textbf{(0/2/1)}$ Efter hur lång tid finns endast 95,5 gram kvar? |
||||||||
|
|||||||||
|
Ur tabellen hittar man halveringstiden för $\ce{^{220}_{86}Rn}$ till $T_{1/2}=55{,}6$ sekunder. Sönderfallsformeln ger då $\begin{align*}
m&= m_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T_{1/2}}} \quad \Longrightarrow \quad 95{,}5= 414\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{55{,}6}}&&
\end{align*}$
För att komma åt tiden $t$ behöver man logaritmera, jag brukar alltid använda den naturliga logaritmen, men det spelar ingen roll om ni hellre vill använda 10-logaritmen! Man får. $\begin{align*}
\ln\left(\dfrac{95{,}5}{414}\right)&= \ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{55{,}6}}\right)=\dfrac{t}{55{,}6}\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&&
\end{align*}$
Lös ut $t$ på vanligt sätt. $\begin{align*}
t&= \dfrac{55{,}6\cdot \ln\left(\dfrac{95{,}5}{414}\right)}{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}=117{,}65 \approx 118\textrm{ sekunder}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-047 | Ett milligram aktinium innehåller $2{,}66\cdot 10^{18}$ atomer och aktiviteten
är $4{,}34\cdot 10^9$ Bq. $\textbf{(1/1/1)}$ Beräkna aktiniums sönderfallskonstant och halveringstid. |
||||||||
|
|||||||||
|
Aktiviteten är definierad enligt $A=\lambda \cdot N$. Ur detta beräknar vi sönderfallskonstanten för aktinium. $\begin{align*}
A&= \lambda \cdot N \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \dfrac{4{,}34\cdot 10^9}{2{,}66\cdot 10^{18}}=1{,}63\cdot 10^{-9}\textrm{ per sekund}&&
\end{align*}$
Halveringstiden förhåller sig till sönderfallskonstanten enligt. $\begin{align*}
T_{1/2}&=\dfrac{\ln2}{\lambda}=\dfrac{\ln2}{1{,}63\cdot 10^{-9}}=424\,832\,143\textrm{ sekunder}\approx 13{,}5\textrm{ år}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-048 | Efter 7,57 år innehåller ett radioaktivt preparat 84% av den ursprungliga mängden $\textbf{(0/2/1)}$ radioaktiv nuklid. Hur lång är halveringstiden för denna radioaktiva nuklid? Vilken nuklid kan det röra sig om? |
||||||||
|
|||||||||
|
Sönderfallsformeln ger i detta fall $\begin{align*}
N&= N_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T_{1/2}}} \quad \Longrightarrow \quad 0{,}84N_0=N_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{7{,}57}{T_{1/2}}}&&
\end{align*}$
Dividera bort $N_0$ och logaritmera! $\begin{align*}
\ln(0{,}84)&=\ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{7{,}57}{T_{1/2}}}\right)=\dfrac{7{,}57}{T_{1/2}}\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&&
\end{align*}$
$T_{1/2}$ fås nu som $\begin{align*}
T_{1/2}&=\dfrac{7{,}57\cdot\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\ln(0{,}84)}=30{,}1 \textrm{ år} &&
\end{align*}$
$T_{1/2}=30{,}1$ år, det stämmer bra för nukliden $\ce{^{137}_{55}Cs}$. |
|||||||||
| kf-049 | I ett skåp på fysikinstitutionen hittar man ett gammalt strontiumpreparat $\ce{^{90}_{38}Sr}$ som är $\textbf{(1/1/1)}$ 14 år gammalt. Ett mätprotokoll visar att man då uppmätte aktiviteten 2 780 pulser/min vid en bakgrundsstrålning på 210 pulser/minut. Hur många pulser/min bör man uppmäta idag, om bakgrundsstrålningen är densamma? |
||||||||
|
|||||||||
|
Halveringstiden för $\ce{^{90}_{38}Sr}$ är $T_{1/2}=29$ år. Antal pulser/min för 14 år sedan blir $2\,780 - 210 = 2\,570$ pulser/min. Antalet pulser idag, 14 år senare, fås enligt. (Jag kallar detta A, det är ju en aktivitet). $\begin{align*}
A=& A_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{T_{1/2}}}=2\,570\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{14}{29}}=1\,839\textrm{ pulser/min}&&
\end{align*}$
Bakgrundsstrålningen är densamma så man bör uppmäta $1\,839 + 210 = 2\,049 \approx 2\,050$ pulser/min. |
|||||||||
| kf-050 | Du tänker göra te genom att värma vatten genom att låta det absorbera röntgenstrålning. $\textbf{(1/1/1)}$ Hur lång tid tar det att höja temperaturen hos en kopp vatten från 10$^{\circ}$C till 85$^{\circ}$C med hjälp av röntgenstrålning från en maskin som producerar 1,0 mGy varje sekund? 1,0 mGy är den dos som absorberas vid en genomsnittlig röntgenundersökning. |
||||||||
|
|||||||||
|
Antag att en kopp med vatten innehåller ungefär 2,5 dl, vilket väger $m=0{,}25$ kg. Vattnets specifika värmekapacitet är 4\,180 J/kg$\cdot$K. Då får vi den nödvändiga energimängden för uppvärminingen. $\begin{align*}
E=& mc\Delta T=0{,}25\cdot 4\,180 \cdot 75=78\,375 \textrm{ J}&&
\end{align*}$
Röntgenstrålningen från maskinen avger $E=D\cdot m=0{,}001\cdot 0{,}25=0{,}00025$ J varje sekund. Det kommer alltså att krävas $\begin{align*}
t=& \dfrac{78\,375}{0{,}00025}=9{,}9 \textrm{ år!!!} &&
\end{align*}$
Ingen vidare bra metod! |
|||||||||
| kf-051 | En person som väger 85 kg absorberar dosen 0,25 Gy jämnt över hela kroppen. $\textbf{(1/0/0)}$ Hur mycket energi tillför detta kroppen? |
||||||||
|
|||||||||
|
Den absorberade stråldosen $D$ förhåller sig till tillförd energi enligt $\begin{align*}
D=& \dfrac{E}{m} \quad \Longrightarrow \quad E=D\cdot m= 0{,}25 \cdot 85 = 21{,}25\textrm{ Joule}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-052 | Samma person som i föregående uppgift, dvs. en person som väger 85 kg, $\textbf{(1/1/0)}$ exponeras nu för den ekvivalenta dosen 3,5 mSv i form av $\alpha$-strålning. Hur mycket energi absorberar personen nu? |
||||||||
|
|||||||||
|
Den ekvivalenta dosen $H=D\cdot Q$ där $Q$ är en verkningsfaktor och för $\alpha$-strålning är $Q=20$. Vi får nu att $\begin{align*}
D=& \dfrac{H}{Q}=\dfrac{3{,}5\cdot 10^{-3}}{20}= 1{,}75\cdot 10^{-4}\textrm{ Sv}&&
\end{align*}$
men $D=\dfrac{E}{m}$ så vi får energin $\begin{align*}
\dfrac{E}{m}=& 1{,}75\cdot 10^{-4} \quad \Longrightarrow \quad E=85\cdot 1{,}75\cdot 10^{-4}=15 \textrm{ mJ} &&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-053 | Radioaktiv kryptongas (krypton-81*) används vid lungundersökningar. Kryptongasen sänder ut gammastrålning. Halveringstiden är 13 s. En patient inandas luft som innehåller $6{,}00\cdot 10^{9}$ radioaktiva kryptonatomer. Patienten håller andan i 20 s.
Gammastrålningen från den luft som nu finns i lungorna, ger en bild av lungorna.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-054 | Figuren nedan visar söndefallsschemat för kärnan $\ce{^{28}Al}$.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-055 | Radium sönderfaller till Radon via $\alpha$-sönderfall enligt $\textbf{(1/2/0)}$ $\begin{equation*}
\ce{^{226}_{88}Ra} \ce{ -> } \ce{^{222}_{86}Rn} + \ce{^{4}_{2}He}
\end{equation*}$
Beräkna massdefekten $\Delta m$ och den frigjorda energin för sönderfallet. Vilken hastighet skulle alfapartikeln få om både Radium- och Radonkärnorna kan antas vara i vila? |
||||||||
|
|||||||||
|
Massdefekten beräknas enkelt som skillnaden mellan nuklidmassorna före och efter. $\begin{align*}
\Delta m&= m\left(\ce{^{226}_{88}Ra}\right) - m\left(\ce{^{222}_{86}Rn} \right) - m\left(\ce{^{4}_{2}He}\right) &&\\[5pt]
&= 226{,}0254085 - 222{,}0175763 - 4{,}0026032541 = 0{,}0052289459 \textrm{ u}&&
\end{align*}$
Uttryckt i energi blir detta $\begin{align*}
E&= 0{,}0052289459 \cdot 931{,}49 = 4{,}870710816 \textrm{ MeV}&&\\[5pt]
&= 4{,}870710816 \cdot 10^6 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} = 7{,}80287873 \cdot 10^{-13} \textrm{ J}&&
\end{align*}$
Om $\alpha$-partikeln får hela denna energi som rörelseenergi kan hastigheten beräknas enligt $\begin{align*}
E&=\dfrac{mv^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}&&
\end{align*}$
massan för $\alpha$-partikeln är $\begin{align*}
m_{\alpha}&=4{,}0026032541-2\cdot 0{,}00045858 = 4{,}001506094 \textrm{ u}&&\\[5pt]
&=4{,}001506094 \cdot 1{,}660539 \cdot 10^{-27}=6{,}64465693 \cdot 10^{-27}\textrm{ kg}&&
\end{align*}$
Vi får då hastigheten till $\begin{align*}
v&=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{ \dfrac{2\cdot7{,}80287873 \cdot 10^{-13}}{6{,}64465693 \cdot 10^{-27}}} =15\,325\,200 \text{ m/s} = 0{,}05 \text{ c}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-056 | Nickelkärnan $\ce{^{66}_{28}Ni}$ sönderfaller till koppar via ett $\beta^-$-sönderfall. Teckna reaktionsformeln för$\textbf{(1/2/0)}$ sönderfallet och beräkna massdefekten $\Delta m$ och den frigjorda energin för sönderfallet. Vilken hastighet skulle betapartikeln få om både nickel- och kopparkärnorna kan antas vara i vila? Nuklidmassorna för nickel och koppar är \begin{align*}
m\left(\ce{^{66}_{28}Ni}\right)&=65{,}929 139 \text{u}\\
m\left(\ce{^{66}_{28}Cu}\right)&=65{,}928 869 \text{u}
\end{align*} |
||||||||
|
|||||||||
|
Reaktionsformeln för sönderfallet blir $\begin{equation*}
\ce{^{66}_{28}Ni} \ce{ -> } \ce{^{66}_{29}Cu} + \ce{^{0}_{-1}e} + \bar{\nu_e}
\end{equation*}$
Eftersom det är ett $\beta^-$ sönderfall beräknas massdefekten enkelt som skillnaden mellan nuklidmassorna för modern minus dottern enligt. $\begin{align*}
\Delta m&= m\left(\ce{^{66}_{28}Ni}\right) - m\left(\ce{^{66}_{29}Cu}\right) &&\\[5pt]
&= 65{,}929 139 - 65{,}928 869 = 0{,}00027 \textrm{ u}&&
\end{align*}$
Uttryckt i energi blir detta $\begin{align*}
E&= 0{,}00027 \cdot 931{,}49 = 0{,}2515023 \textrm{ MeV}&&\\[5pt]
&= 0{,}2515023 \cdot 10^6 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} = 4{,}02906685 \cdot 10^{-14} \textrm{ J}&&
\end{align*}$
Om $\beta$-partikeln får hela denna energi som rörelseenergi $E_k$ kan hastigheten beräknas enligt $\begin{align*}
E_k&=\dfrac{mv^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad v=\sqrt{\dfrac{2E_k}{m}}&&
\end{align*}$
$\beta$-partikeln är en elektron, så den massan hämtar vi direkt från formelsamlingen Vi får då hastigheten till $\begin{align*}
v&=\sqrt{\dfrac{2E_k}{m}}=\sqrt{ \dfrac{2\cdot 4{,}02906685 \cdot 10^{-14}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} =297\,575\,066 \text{ m/s} = 0{,}9926 \text{c}&&
\end{align*}$
Hastigheten vi kommit fram till är mycket nära ljushastigheten $c=299\,792\,458$ m/s. Eftersom vår räkning är gjord med klassisk fysik, utan hänsyn till relativistiska effekter och hastigheten är mer än typ 10% av c, måste räkningen göras om med relativistiska metoder. Detta ingår egentligen inte i kursen, men för den intresserade läsaren gör jag den ändå. Den relativistiska rörelseenergin är lika med totala energin minus viloenergin och hanteras av uttrycket $\begin{align*}
E_k&=E_{\text{tot}}-E_0=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-mc^2=\gamma mc^2 - mc^2=mc^2(\gamma -1)&&
\end{align*}$
Här skulle vi kunna lösa ut hastigheten $v$ direkt genom att kvadrera och sedan lite algebra, men låt oss ta den lilla omvägen via $\gamma$-faktorn. $\gamma$-faktorn beräknas enligt $\begin{align*}
\gamma&=\dfrac{E_k}{mc^2}+1=\dfrac{4{,}02906685 \cdot 10^{-14}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}\cdot 299\,792\,458^2}+1=1{,}492630929&&
\end{align*}$
Nu kan den korrekta relativistiska hastigheten beräknas enligt $$\begin{align*} \gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}&& \\[5pt] 1-\dfrac{v^2}{c^2}&=\dfrac{1}{\gamma^2} && \\[5pt] v&=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{\gamma^2}\right)\cdot c^2}&& \\[5pt] &=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{1{,}492630929^2}\right)\cdot 299\,792\,458^2}&& \\[5pt] &=222\,565\,628 \text{ m/s}\approx0{,}74\text{c} && \end{align*}$$ |
|||||||||
| kf-057 | När radioaktiva ämnen som återfinns i marken och i viss betong sönderfaller kan den radioaktiva radongasen Rn-222 bildas. Denna gas sönderfaller i sin tur genom alfasönderfall och bildar radondöttrar som lätt fastnar på damm som vi sedan andas in i våra lungor. Själva radongasen är inte direkt farlig för människan, men de radioaktiva radondöttrarna kan öka risken för lungcancer.
I Sverige har Boverket fastställt att radonaktiviteten i nya byggnader inte får överstiga 200 Bq/m$^3$ luft.
|
||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
| kf-058 | Beräkna massdefekten $\Delta m$ och bindningsenergin $E$ för en deuteriumkärna$\textbf{(1/1/0)}$ (kallas också för tungt väte) $\ce{^{2}_{1}H}$, skrivs även som $\ce{^{2}_{1}D}$. |
||||||||
|
|||||||||
|
Massdefekten $\Delta m$ för en deuteriumkärna $\ce{^{2}_{1}D}$ beräknas som skillnaden mellan summan av de fria partiklarnas massa och det bundna tillståndets massa. Observera också att kärnmassan för $\ce{^{2}_{1}D}$ är nuklidmassan ur tabellen minus den ensamma elektronens massa! $\begin{align*}
\Delta m&=\Big( m(p)+m(n)\Big)- \Big(m\left( \ce{^{2}_{1}D}\right)-m(e^-)\Big)&&\\[5pt]
&=1{,}007276+1{,}0086649158 - 2{,}01410177881+0{,}00054858 &&\\[5pt]
&=0{,}002387717 \text{ u}&&
\end{align*}$
Detta motsvarar bindningsenergin. $\begin{align*}
E&=\Delta m\cdot 931{,}49=0{,}002387717 \cdot 931{,}49=2{,}2241 \text{ MeV}&&
\end{align*}$
|
|||||||||
| kf-059 | Magnesium sönderfaller till Natrium via ett $\beta^+$-sönderfall enligt$\textbf{(1/2/0)}$ \begin{equation*}
\ce{^{23}_{12}Mg} \ce{ -> } \ce{^{23}_{11}Na} + \ce{^{0}_{1}e} + \nu_e
\end{equation*}
Beräkna massdefekten $\Delta m$ och den frigjorda energin för sönderfallet. Vilken hastighet skulle betapartikeln få om både Magnesium- och Natriumkärnorna kan antas vara i vila? |
||||||||
|
|||||||||
|
Eftersom det är ett $\beta^+$ sönderfall beräknas massdefekten enkelt som skillnaden mellan nuklidmassorna för modern minus dottern minus 2 elektronmassor enligt. $\begin{align*}
\Delta m&= m\left(\ce{^{23}_{12}Mg}\right) - m\left(\ce{^{23}_{11}Na}\right) - 2m\left(\ce{^{0}_{-1}e}\right) &&\\[5pt]
&= 22{,}9941239 - 22{,}989769282 -2\cdot 0{,}00054858= 0{,}003257458 \textrm{ u}&&
\end{align*}$
Uttryckt i energi blir detta $\begin{align*}
E&= 0{,}003257458 \cdot 931{,}49 = 3{,}034289552 \textrm{ MeV}&&\\[5pt]
&= 3{,}034289552 \cdot 10^6 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} = 4{,}86093186 \cdot 10^{-13} \textrm{ J}&&
\end{align*}$
Om $\beta$-partikeln får hela denna energi som rörelseenergi $E_k$ kan hastigheten beräknas enligt $\begin{align*}
E_k&=\dfrac{mv^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad v=\sqrt{\dfrac{2E_k}{m}}&&
\end{align*}$
$\beta$-partikeln är en positron (exakt samma massa som elektronen), så den massan hämtar vi direkt från formelsamlingen Vi får då hastigheten till $\begin{align*}
v&=\sqrt{\dfrac{2E_k}{m}}=\sqrt{ \dfrac{2\cdot 4{,}86093186 \cdot 10^{-13}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} =1\,033\,603\,731 \text{ m/s} = 3{,}447730934 \text{c}&&
\end{align*}$
Detta är såklart en helt orimlig hastighet som vi har kommit fram till, nästan 3,5 gånger ljusets hastighet (ljushastigheten $c=299\,792\,458$ m/s). Anledningen är att vår räkning är gjord med klassisk fysik, utan hänsyn till relativistiska effekter. En tumregel vid dessa räkningar är att klassisk räkning funkar helt ok ända upp till ungefär 10% av c, är hastigheten större behöver vi göra om räkningen med de relativistiska ekvationerna. Detta ingår egentligen inte i kursen, men för den intresserade läsaren gör jag den ändå. Den relativistiska rörelseenergin är lika med totala energin minus viloenergin och hanteras av uttrycket $\begin{align*}
E_k&=E_{\text{tot}}-E_0=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-mc^2=\gamma mc^2 - mc^2=mc^2(\gamma -1)&&
\end{align*}$
Här skulle vi kunna lösa ut hastigheten $v$ direkt genom att kvadrera och sedan lite algebra, men låt oss ta den lilla omvägen via $\gamma$-faktorn. $\gamma$-faktorn beräknas enligt $\begin{align*}
\gamma&=\dfrac{E_k}{mc^2}+1=\dfrac{4{,}86093186 \cdot 10^{-13}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}\cdot 299\,792\,458^2}+1=3{,}437913922&&
\end{align*}$
Nu kan den korrekta relativistiska hastigheten beräknas enligt $$\begin{align*} \gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}&& \\[5pt] 1-\dfrac{v^2}{c^2}&=\dfrac{1}{\gamma^2} && \\[5pt] v&=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{\gamma^2}\right)\cdot c^2}&& \\[5pt] &=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{3{,}437913922^2}\right)\cdot 299\,792\,458^2}&& \\[5pt] &=286\,829\,836 \text{ m/s}\approx0{,}95676\text{c} && \end{align*}$$ |
|||||||||