2.1 Polynom

Vad är ett polynom (sid 72)

Strikt definition som är viktig att komma ihåg. Variablernas exponenter måste vara positiva heltal, polynomets gradtal ges av den term som har högst exponent.

Räkna med polynom (sid 73)

De vanliga räknesätten fungerar precis som förväntat. Vi definierar också begreppet Binom, som är ett polynom med exakt två termer.

Övningsuppgifter sidan 74
2103	2104	2105	2106	2107	2108	2109	2110	2111	2112

---

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna (sid 76)

Det finns tre viktiga regler för multiplikation av binom, en konjugatregel och två kvadreringsregler. Dessa kommer till väldigt stor hjälp vi all algebraisk räkning.

Övningsuppgifter sidan 77
2115	2116	2117	2118	2119	2120	2121	2122	2123	2124
2125	2128	2129	2130	2131	2132	2133	2134	2135

---

Faktorisera (sid 79)

Att faktorisera handlar om att skriva om tal eller uttryck som en produkt av faktorer. Här kommer konjugatregeln och kvadreringsreglerna väl till pass, ofta kan dessa användas i omvänd ordning.

Övningsuppgifter sidan 80
2138	2139	2140	2141	2142	2143	2142	2143	2144	2145
2146	2147	2148	2149	2150	2151	2152

2.2 Andragradsekvationer

Enkla andragradsekvationer (sid 82-83)

Det finns några olika typer av andragradsekvationer, där den bästa lösningsmetoden ser lite olika ut. För den enklaste varianten, då vi enbart har en kvadrat på variabeln lika med något tal, så handlar lösningen enbart om att dra roten ur detta ensamma tal.

Övningsuppgifter sidan 83
2202	2203	2204	2205	2206	2207	2208	2209

---

Kvadratkomplettering (sid 84)

Om uttrycket i andragradsekvationen är ett fullständigt polynom (av grad två då) så är kvadratkomplettering en möjlig väg fram. Den är lämplig om koefficienterna är heltal och går ut på att faktorisera uttrycket och därefter tillämpa nollproduktregeln.

$x^2-x-6=0$

prova med att skriva om som en produkt

$(x+a)(a+b)=0$
osv.

...

Övningsuppgifter sidan 85
2212	2213	2214	2215	2216	2217	2218	2219	2220	2221

---

En lösningsformel (sid 86)

Aritmetisk Talföljd:	En aritmetisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt adderar en konstant.

Ett exempel på en sådan talföljd är talföljden ovan, där man successivt adderade konstanten 4.

$5, 9, 13, 17, 21\ldots$

Om vi fortsätter denna talföljd upp till ett visst element $n$ inser man snabbt att summan av en aritmetisk talföljd ges av

$S=\dfrac{\textrm{''första termen"} + \textrm{''sista termen''}}{2} \cdot \textbf{''antalet termer''} = \dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$

Om man vill ta reda på hur många termer en talföljd har får man vara lite försiktig och tänka efter en aning. Jämför följande exempel. Vi tar vår talföljd igen och vill veta hur många termer summan har.

$5, 9, 13, 17, 21\ldots,497,501$

"Största termen" minus "minsta termen", alltså $a_n$-$a_1$ dividerat med term mellanrummet, 4 i detta fall. Detta ger ju antalet mellanrum, men vi ville veta antalet termer och det är 1 större!

$\dfrac{501-5}{4}=124$ och $124 +1 = 124$

Så 125 termer! Detta kan vi också få fram direkt om vi har den slutna formen, vilket vi har i detta fall.

$a_n=4n+1$ $\Longrightarrow$ $n=\dfrac{501-1}{4}=125$

Övningsuppgifter sidan 91
2229	2230	2231	2232	2233	2234	2235	2236

---

Geometriska talföljder (sid 92-94)

En geometrisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är

$2, 6,18,54, 162, 486 \ldots$

som startar med $a_1=2$ och sedan multiplicerar man successivt med $k=3$3. Nu indikerade jag att talföljden pågår i all oändlighet i och med de tre avslutande punkterna $\ldots$. Men låt säga att jag vill beräkna summan av ett ändligt antal av denna talföljds element, exempelvis

$S=2+6+18+54+ 162+486$

Detta låter sig göras genom följande lilla trix.

Skapa summan $3S$

$\begin{aligned} 3S&=3\cdot 2+3\cdot 6+3\cdot 18+3\cdot 54+ 3\cdot 162+3\cdot 486 =\\
& =6+18+54+162+486+1458
\end{aligned} $

Summan $3S$ är bara en annan del av samma talföljd som summan $S$ och vi kan skriva

$3S-S=S(3-1)=1458-2$

och man får summan $S$ som

$S=\dfrac{1458-2}{3-1}$

Försök själva visa det generella fallet för summan $S$ då första talet kallas $a_1$, faktorn kallas $k$ och man har $n$ element. Man får

$S=\dfrac{a_1 \cdot(k^n-1)}{k-1} = \dfrac{a_1 \cdot(1-k^n)}{1-k}$

Övningsuppgifter sidan 94
2240	2241	2242	2243	2244	2245	2246	2247	2248	2249
2250	2251	2252	2253	2254

---

Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar (sid 96-100)

Flex exempel på övningar med talföljder.

Övningsuppgifter sidan 98
2257	2258	2259	2260	2261	2262	2263	2264

Övningsuppgifter sidan 100
2267	2268	2269	2270	2271	2272	2273

2.3 Induktionsbevis

Induktionsbevis är en viktig och kraftfull "bevisteknik" som man kan/måste använda om man vill visa att ett påstående är sant för alla positiva heltal. Ofta handlar det om en likhet men i princip kan det vara fråga om vilket påstående som helst. Att verifiera påståendet för ett heltal i taget är ju omöjligt eftersom det finns oändligt många heltal. Notera också att induktionsprincipen i sig är en mycket viktig egenskap hos de naturliga talen. Heltalen har helt enkelt definierats med egenskapen (de så kallade axiomen för de hela talen) att induktionsprincipen ska fungera.

Huvuddragen för Induktionsprincipen bygger på tre steg:

1 - Basfallet: Visa att påståendet är sant för ett första tal, vanligen 0 eller 1. Säg $n=1$.

2 - Induktionsantagandet: Antag att påståendet ät sant för ett fixerat men godtyckligt heltal $n=p$.

3 - Induktionssteget: Visa nu att under förutsättningen från 2 så är påståendet korrekt för $n=p+1$, dvs för nästa heltal.

Induktionprincipen ger nu att påståendet måste vara sant för alla heltal! Vi vet nämligen att det är sant för $n=1$. Och eftersom det är sant för $n=1$ så måste det enligt punkt 2 och 3 vara sant för $n=2$. Eftersom det nu är sant för $n=2$ måste det vara sant för $n=3$ etc.

Exempel:
Visa att om $n$ är ett positivt heltal så är summan

$S_n=1+2+3+4+5+ \ldots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Bevis:
1 - Basfallet: Visa först att påståendet/satsen stämmer då $n=1$.

Om $n=1$ så är å ena sidan $1+2+3+...+ n = 1$. Å andra sidan är $\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{2}{2}=1$.
Satsen verkar stämma då $n = 1$.

2 - Induktionsantagandet: Anta nu att satsen stämmer för det positiva heltalet $n=p$. Det är detta steg i beviset som kallas induktionsantagandet. Det gäller sedan att visa att satsen då även stämmer för nästa heltal, $n=p+1$.

3 - Tillämpa induktionsantagandet: Alltså visa att

$1+2+3+4+5+ \ldots + p + (p+1)=\dfrac{(p+1)(p+2)}{2}$

Nu gäller det att med lite smart algebra och induktionsantagandet visa likheten. Gruppera exempelvis såhär

$\begin{aligned}
1+2+3+4+5+ \ldots +p +(p+1)&=(1+2+3+4+5+ \ldots +p) +(p+1) \\
& = \dfrac{p(p+1)}{2} + (p+1) \quad \textrm{(Induktionsantagandet)}\\
&= (p+1)\left(1+\dfrac{p}{2}\right) \quad \textrm{(Faktorisera!}\\
& =\dfrac{(p+1)(p+2)}{2}
\end{aligned} $

Så nu kan vi sammanfatta: Satsen stämmer för det positiva heltalet $n=1$. Om nu satsen stämmer för det positiva heltalet $n=p$ och man kan visa att satsen då också stämmer för nästa positiva heltal, $(n=p+1)$. Då har man enligt principen för matematisk induktion visat att satsen stämmer för alla positiva heltal.

Övningsuppgifter sidan 107
2304	2305	2306	2307	2308	2309	2310	2311	2312	2313
2314	2316	2317

Diagnos 2 och Blandade övningar kapitel 2

Diagnos 2 sidan 111
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13

Blandade övningar Kapitel 2 UTAN räknare sidan 112
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11

Blandade övningar Kapitel 2 MED räknare sidan 113
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21

Blandade övningar kapitel 1-2

Blandade övningar Kapitel 1-2 UTAN räknare sidan 114
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12

Blandade övningar Kapitel 1-2 MED räknare sidan 115
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
33