Härledning av Snell's lag
Att ljus färdas olika snabbt i olika medier kan vi se som en ren materialegenskap. Detta sammanfattas i begreppet brytningsindex ($n$), vilket är förhållandet mellan ljushastigheten i vakuum ($c$) och ljushastigheten i mediet ($v$).
$ n=\dfrac{c}{v}$
Brytningslagen eller som den också kallas Snells lag
$ n_1\sin \alpha_1=n_2 \sin \alpha_2$
gäller när en ljusstråle bryts vid övergången mellan två medier.
Bevis
Betrakta en ljusstråle som passerar gränsen mellan två medier. Beteckna strålens hastighet i medium 1 för $v_1$ och medium 2 för $v_2$. Strålen möter gränsytan mellan de båda medierna i punkten P. Infallsvinkeln kallar vi $\alpha_1$ och brytningsvinkeln för $\alpha_2$.
Ljusstrålen går nu från A till P i medium 1 och från P till B i medium 2. Den totala tid $T$ som detta tar strålen kan nu tecknas.
$T = \dfrac {\sqrt{a^2 + x^2}} {v_1} + \dfrac {\sqrt{b^2 + ({l - x})^2}} {v_2}=\dfrac {(a^2 + x^2)^{\frac{1}{2}}} {v_1} + \dfrac {\left(b^2 + ({l - x})^2\right)^{\frac{1}{2}}} {v_2}$
Enligt Fermats Princip väljer ljusstrålen den väg som tar kortast tid, ett minimeringsproblem med andra ord. Vi söker lösningen på ekvationen $\dfrac{dT}{dx}=0$. Derivera $T(x)$ och man får
$\dfrac{{dT}}{{dx}} = \dfrac{{\frac{1}{2}{{({a^2} + {x^2})}^{ - 1/2}}(2x)}}{{{v_1}}} + \dfrac{{\frac{1}{2}{{({b^2} + {{(l - x)}^2})}^{ - 1/2}}2(l - x)( - 1)}}{{{v_2}}}=0$.
Förenklar lite och skriver om
$\dfrac {x} {v_1 \sqrt{a^2 + x^2}} = \dfrac {l - x} {v_2 \sqrt{b^2 + \left({l - x}\right)^2}}$.
Observera nu i figuren ovan att $\sin \alpha_1=\dfrac {x} { \sqrt{a^2 + x^2}}$ och $\sin \alpha_2= \dfrac {l - x} { \sqrt{b^2 + \left({l - x}\right)^2}}$.
Alltså har vi att
$\dfrac {\sin \alpha_1} {v_1} = \dfrac {\sin \alpha_2} {v_2}$
och eftersom brytningsindexet $n$ är definierat som $ n=\dfrac{c}{v}$ $\Rightarrow$ $ v=\dfrac{c}{n}$
får man slutligen
$\dfrac {\sin \alpha_1} {\dfrac{c}{n_1}} = \dfrac {\sin \alpha_2} {\dfrac{c}{n_2}}$.
som ju är lika med
$ n_1\sin \alpha_1=n_2 \sin \alpha_2$.