3.1 Derivator

Repetition (sid 120-126)

Repetition från Ma3c och Ma4. Läs igenom detta och öva upp handhavandet med de olika deriveringsreglerna.
Se till att ha koll på de generella deriveringsreglerna.

$D\left(k\cdot f(x)\right)=k\cdot f'(x)$

$D\left(f(x) \pm g(x)\right)=f'(x) \pm g'(x)$

Lös några a-uppgifter samt 3110, 3111, 3113-3115

Några bevis (sid 126-127)

Beviset för derivatan av en produkt, den såkallade produktregeln kan se ut såhär. Lite annorlunda jämfört med bokens bevis.

Sats: Om både $f(x)$ och $g(x)$ är deriverbara gäller för produkten av dessa att $y=f(x)\cdot g(x)$ $\Longrightarrow$ $y'=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.

Bevis:

$\small \begin{aligned} y'(x) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h)g(x+h) - f(x)g(x)}}{h} &&\text{Derivatans definition} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h)g(x+h) -f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}}{h} && \text{Trix med $f(x)g(x+h)$}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x + h)g(x+h) -f(x)g(x+h)}}{h}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\left( {\frac{{f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}}{{h}}} \right) && \text{Dela upp i bråk}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x + h) -f(x)}}{h}} g(x+h) \right) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\left(f(x) {\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}} \right) && \text{Bryt ut $g(x+h)$ & $f(x)$}\\ & = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) &&\text{Klart!} \end{aligned} $

Lös 3119, 3120, 3123, 3126 och eventuelllt 3127, 3128, 3130, 3131.

Tangenter och linjär approximation (sid 128-129)

Om man vill approximera grafen till en funktion $y=f(x)$ i en punkt $(a,f(a))$ är rimligen tangenten genom punkten på grafen den bästa approxiamtionen. Som bekant fås lutningen denna tangent m.h.a. derivata. Approximation med tangent kan t.ex. vara ett bra hjälpmedel om man vill studera en komplicerad funktion "lokalt" (dvs. nära en given punkt).

Lös 3136, 3137, 3138 och eventuellt 3142, 3144.

Förändringshastigheter och derivator (130-136)

Kommer ni ihåg uppgiften på fysikprovet om stenen som kastades i en damm. I den övningen så var givet att radien växte med 30 cm per sekund. Man kan då fråga sig hur mycket växer arean av cirklen vid en viss radie! Detta är en typ av problem som återigen kan lösas med hjälp av kedjeregeln. Börja med att sätta upp ett uttryck för arean som funktion av radien.

$A(r)=\pi r^2$

Eftersom radien nu växer med tiden så måste vi i sin tur behandla radien som en funktion av tiden.

$r=r(t)$

Vår fråga i detta fall är ju hur arean växer med tiden, så funktionen för arean skall alltså deriveras med avseende på tiden och inte enbart med avseende på radien. Vi söker alltså derivatan till

$A\left(r(t)\right)=\pi r(t)^2$

$A'\left(r(t)\right)=A'\left(r(t)\right)\cdot r'(t)=2\pi r(t)\cdot r'(t)$

där $r'(t)$ enligt förutsättningarna är 30 cm/s. Boken använder noteringen

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\cdot \dfrac{dr}{dt}$

där $r'(t)=\dfrac{dr}{dt}$ är den hastighet som radien växer med, dvs. 30 cm per sekund i vår uppgift! Så om vi nu vill veta hur mycket arean av cirkeln växer vid exempelvis $r=3$m. fås

$A'\left(r(t)\right)=2\pi\cdot 3\cdot 0.3=5.7$m$^2$/s.

Lös 3169-3172.

3.2 Extremvärden

Tillämpningar och problemlösning (sid 137-144)

Inget nytt här egentligen, i princip är detta redan gjort i Ma3c. Ni skall använda derivatan för att studera funktionsgrafer och bestämma max/min värde. Enda skillnaden är att ni nu förfogar över en något större verktygslåda och klarar därmed av att derivera fler funktioner. Glöm ej att att studera andraderivatans tecken för att avgöra max- eller minvärde. Alternativt genom att göra en teckenstudie. Det räcker inte att påstå att derivatan är noll.

Den vanligaste tillämpningen av derivator är nog extremvärdesproblem. Taktiken är som bekant att leta upp derivatans nollställen och sedan klassificera punkter med teckentabell eller andraderivatans tecken. Det som kan vara lite knepigt är att konstruera en egen funktion från figur eller text. När man gör detta bör man dessutom notera definitionsmängden, och komma ihåg att också eventuella ändpunkter till intervall måste beaktas med avseende på max/min. Uppgifterna nedan är en kraftig utglesning, men dom räcker till. 3205 till 3228 bör alla lösa eller i alla fall ha koll på. Övriga är lite svårare och för de som strävar mot högre betyg.

Lös 3205, 3208, 3212, 3215, 3218, 3220, 3222, 3228 samt eventuellt 3233, 3234, 3236, 3237 (kluriga och utmanande).

3.3 Integraler

Primitiva funktioner, integraler och areaberäkningar (sid 145-149)

Detta är i princip repetition från Ma4, dock kan dom enskilda problemen var lite svårare eller mera "tekniska". Av a-uppgifterna bör man klara dom flesta. b- och c-uppgifterna arbetar man med om man vill ha svårare problem. 3321 är inte "standard" så här får man tänka efter.

Lös uppgifter efter behov vilket kan innbär några a-uppgifter och sedan b- och eventuellt c-uppgifter. 3321 är som sagt svår.

Geometriska sannolikheter (150)

Egentligen inget nytt. Man modellerar med areor när man räknar utfallsrum. Dessa areor kan sedan bestämmas t.ex. med integral.

Lös 3322, 3323. 3324 är intressant men ganska svår och måste i nuläget lösas utan integraler. För att bestämma den gröna arean krävs lite eftertanke.

Partiell integration (151-153)

Som bekant så är primitiv funktion ett bra hjälpmedel för att räkna ut integraler. Ju fler primitiver man klarar ju fler integraler klarar man därmed. Partiell integration är en "metod" för att bestämma vissa primitiva funktioner, och den är i princip en spegelbild av deriveringsregeln för en produkt (inte så oväntat att varje deriveringsregel har en motsvarigthet). Som boken visar får man

$\int f(x)g(x) dx = F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$

där man alltså överför bestämmandet av primitiven till $f(x)g(x)$ till bestämmandet av primitiven till $F(x)g'(x)$. Nu finns det ju inget som säger att den senare blir enklare än den förra i allmänhet. Man måste därför "veta vad man sysslar med" när man partialintegrerar. Detta lär man sig genom att kika på exempel och träna själv.

Lös samtliga a- och b-uppgifter och eventuellt 3333 och 3334.

Volymberäkning med skivmetoden (154-157)

Här finns olika exempel på tillämpade problemställningar. Som ni ser dyker differentialekvationerna upp i alla möjliga sammanhang!

Lös 3337, 3339, 3341, 3343 och eventuellt 3345.

Volymberäkning med cylindriska skal (158-159)

I slutet av Ma4 kikade vi på hur man kan beräkna volymen på rotationskropar. Vi tänkte oss då att man skivade upp kroppen i smala skivor ("nästancylindrar") och tecknade den sammanlagda skivvolymen som integralen

$\begin{align} \int_{a}^{b}A(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} A(x_i) \Delta x \end{align}$

där $A(x) \Delta x$ kan ses som volymen på en "smal" cylinder och där alltså $A(x)=\pi x^2$ är tvärsnittsarean. Notera dock att skivorna inte måste vara cylindrar, för att teckna $A(x) \Delta x$ räcker det ju att ha koll på hur stor tvärsnittsarean är för ett godtyckligt x. Integralen kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs)! Rotationer runt y-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara om att "byta variabel".

Lös samtliga a-uppg, 3353 och eventuellt 3355. 3353

Generaliserade integraler (160-161)

Det finns två typer av generaliserade integraler, de där funktionen är odefinierad i någon ändpunkt, t.ex.

$\begin{align} \int_0^1 \frac{1}{x} dx \end{align}$

och de där man integrerar över obegränsat intervall, t.ex.

$\begin{align} \int_1^\infty \frac{1}{x} dx \end{align}$

Enbart det sista alternativet behandlas i boken. Idén är att se integralen som ett gränsvärde. Om detta gränsvärde går att bestämma och är ändligt säges integralen vara konvergent, annars divergent. Räkningen sker som vanligt men avslutas med en gränsvärdesräkning, se boken för exempel.

Ett klassiskt problem i anslutning till generaliserade integraler är paradoxen som kallas Gabriel's horn eller Torricelli's trumpet. Problemet går ut på att om kurvan $y=1/x, \, 1 \leq x < \infty$ får rotera runt x-axeln får man en trumpetliknande figur. Det visar sig att ytan av trumpeten blir oändlig men volymen ändlig! I boken finns uppgift 3360, vilken försöker skapa ett problem liknande detta, men det blir bara konstigt tyvärr. Vi kan kika på och räkna lite på Gabriel's horn tillsammans istället!

Lös alla utom 3360.