4.1 Inledning

Grundläggande begrepp (sid 176-179)

En differentialekvationer kan sägas vara ett "samband" mellan en funktion och dess derivator. Att lösa differentialekvationen innebär att finna samtliga funktioner som uppfyller "sambandet". Ofta kan detta vara svårt att göra exakt, men i vissa enkla fall (som behandlas i denna kurs) är det möjligt.

Lösningen till en differentialekvation är alltså en funktion, att jämföra med lösningen till en vanlig ekvation, som ju är ett tal.

Man pratar också om allmän lösning och partikulärlösning. Skillnaden ligger i att den allmänna lösningen omfattar en skara av lösningsfunktioner medan partikulärlösningen är en specifik funktion. Denna uppdelning kommer sig av att vi erhåller en obestämd konstant vid framtagandet av den primitiva funktionen. Om vi däremot även har så kallade begynnelsevillkor till vår differentialekvation kan dessa konstanter bestämmas och vi får en partikulärlösning!

Differentialekvationer och primitiva funktioner (sid 180-181)

Den enklaste differentialekvation är av typen

$y'=f(x)$

där vi alltså söker alla funktioner vars derivata är $f(x)$. I tidigare kurser har vi lärt oss att lösa detta problem genom att integrera $f(x)$ och lösningen blir alltså samtliga primitiva funktioner till $f(x)$

$y(x)=F(x)+C$

Lös 4105, 4106, 4107, 4110, 4111.

Verifiering av en lösning (sid 182-183)

Inte heller detta bör vålla några större problem, förutsatt att man kan sina deriveringsregler. Man får förslag på lösningar till olika differentialekvationer och ska visa om de duger eller i vissa fall bestämma konstanter så de stämmer. Detta gör man genom att helt enklet derivera förslaget och sätta in i ekvationen.

Lös a-uppgifter efter behov, 4122, 4124, 4126 och eventuellt 4128 och 4130.


4.2 Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationen $y'+ay=0$ (sid 184-187)

Dessa differentialekvationer har (efter eventuell omskrivning) utseendet

$y'+ay=0$

Ekavtionen är homogen eftersom det står noll i högerledet när alla termer med y och dess derivator flyttats till vänsterledet. Den är av första ordningen eftersom det förekommer förstaderivator men inga högre derivator. (Den är dessutom linjär och med konstanta koefficienter vilket boken underlåter att berätta.) Genom derivering och insättning inser man att alla funktioner på formen

$\begin{equation} y=Ce^{-ax} \end{equation}$

löser differentialekvationen. Detta är också samtliga lösningar vilket boken reder ut på sida 185. En sak som möjligen kan vålla problem bland uppgifterna är beteckningarna. I t.ex. uppgift 4207 minns man att

$\begin{align} \dfrac{dP}{dt} = P'(t)=P' \end{align}$

Sedan får man förstå att det inte är någon skillnad (matematiskt) om funktion heter P(t) eller y(x).

Om man förutom själva differentialekvationen har ett "villkor", dvs man känner till ett värde på y eller kanske y', så kan detta användas för att bestämma en entydig lösningsfunktion till differentialekvationen. Notera lösningsgången, först bestämmer man samtliga lösningar och sedan använder man villkoret för att "välja ut" en av dessa.

Lös 4203ab, 4205bc, 4207, 4208, 4209, 4213 och eventuellt 4214.

Den inhomogena ekvationen $y'+ay=f(x)$ (sid 188-190)

Lös 4220, 4221, 4222, 4223, 4224, 4225, 4226, 4228, 4229, 4235, 4237

Multiplikation/division i polär form (sid 204-207)

Lös 4239, 4240, 4241, 4242, 4243, 4244, 4247, 4248, 4249, 4251, 4253

Avläs och rita i det komplexa talplanet (sid 208-209)

Lös 4255, 4256, 4257, 4259, 4260, 4262


4.3 Räkning med komplexa tal

de Moivres formel (sid 210-212)

Lös 4304, 4305, 4306, 4307, 4308, 4309, 4310, 4311, 4312, 4313

Ekvationer av typen $z^n=a$ (sid 213-214)

Lös 4322, 4323, 4324, 4325, 4326, 4328, 4329

Eulers formel (sid 215-217)

Lös 4334, 4335, 4336, 4337, 4338, 4339, 4341


4.4 Räkning med komplexa tal

Andragradsekvationer (sid 218-221)

Lös 4103, 4104, 4105, 4106, 4107, 4108, 4109, 4110, 4111, 4112, 4113

Polynomdivision (sid 222-224)

Lös 4116, 4117, 4118, 4119, 4120, 4121, 4122, 4123, 4124, 4125, 4126, 4128, 4129, 4135, 4137

Faktorsatsen (sid 225-228)

Lös 4116, 4117, 4118, 4119, 4120, 4121, 4122, 4123, 4124, 4125, 4126, 4128, 4129, 4135, 4137

Polynomekvationer av högre grad (229-232)

Lös 4116, 4117, 4118, 4119, 4120, 4121, 4122, 4123, 4124, 4125, 4126, 4128, 4129, 4135, 4137


4.5 Växelström

Lös 4502, 4503, 4504, 4505, 4506, 4507, 4508, 4509, 4510, 4511