1.1 Trigonometri och trianglar

Enhetscirkeln och trianglar (sid 8-10)

Inget nytt här, ni bör känna igen er från de tidigare kurserna. Om inte, repetera de grundläggande trigonometriska funktionerna $\sin$, $\cos$ och $\tan$!

Lös 1103,1104bc,1108 och 1109a

1.2 Trigonometriska formler

Enhetscirkel och formler (sid 12-14)

Här känner ni också igen er tror jag. Öva er på hur enhetscirkeln fungerar, kom ihåg att man ALLTID utgår från positiv x-axel och moturs räknas som positiv riktning medan medurs som negativ riktning.

Har ni inte GeoGebra installerat på era datorer så gör det här och nu.
Passa också på att leka lite med enhetscirkeln och de tre grundläggande trigonometriska funktionerna i GeoGebra apparna nedan.


GeoGebra Appar
Ma4-1.1 Enhetscirkeln
Ma4-1.2 Trigonometri och Enhetscirkeln


Lös 1202-1206,1210 och fler efter behov.

Trigonometriska identiteter (sid 15-18)

Det finns en uppsjö av samband mellan olika trigonometriska uttryck. En del av dessa härleds direkt ur enhetscirkeln, övriga kan därefter härledas genom algebraiska manipulationer. Det första sambandet som brukar läras ut är den så kallade trigonometriska ettan, den ser ut såhär:

$ \sin^2 v + \cos ^2 v =1$

Som ni kommer ihåg avläses sinusvärdet på y-axeln och cosinus på x-axeln för en viss given vinkel $v$. Det är inte svårt att se den trigonometriska ettans likhet med pythagoras sats. Mycket riktigt bevisas denna sats också enklast med pythagoras sats. Den finns en övning i boken (1111) där skall utföra detta bevis.

Lös 1214,1216b,1217,1221d,1227,1232,1234.

Addition- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 19-22)

Några viktiga och mycket användbara trigonometriska identiteterär de så kallade additionsformlerna. Dessa formler dyker upp både i matematik och fysik. Formlernas utseende är inget ni behöver lägga på minnet, vi har formelsamlingar till detta. Däremot kan det vara en bra algebraisk övning att härleda dem.

1239-1248,1250.

Formler för dubbla vinkeln (sid 24-25)

Dessa är en direkt följd av additionsformlerna. Sätt $u=v$ i likheten

$\sin(u+v)=\sin u \cos v + \sin v \cos u$

Då får man formeln för dubbla vinkeln för sinus

$\sin 2u = \sin(u+u)= \sin u \cos u + \sin u \cos u= 2 \sin u \cos u$

På motsvarande sätt kan man härleda en formel för cosinus av dubbla vinkeln.

Lös 1255ab,1256-1258 och ev. 1263,1265.

1.4 Trigonometriska ekvationer

Grundekvationer (sid 33-37)

De tre grundekvationerna är följande:

$\sin x =$ konstant
$\cos x =$ konstant
$\tan x =$ konstant

Precis som när ni löser exempelvis en vanlig linjär exvation $4x+4=8$ så är målet att frigöra $x$-et. Till en linjär ekvation finns endast en lösning. När det däremot handlar om de nya trigonometriska ekvationerna har man nu har oändligt många lösningar, vilket är en konsekvens av att nya lösningar genereras för varje varv man snurrar. När vi introducerat dessa funktioner har vi kopplat dem starkt till vinklar, detta för att ge en visuell geometrisk tolkning. Men teoretiskt behöver den obekanta variablen $x$, eller $v$ eller vad den nu kan ha för beteckning representera vad som helst. Alltså måste alla tänkbara värden på variabeln undersökas.

För att förstå hur det hänger ihop är enhetscirkeln åter igen central. Med hjälp av enhetscirkeln blir ekvationslösningen begriplig och man "ser" hur och varför de olika trigonometriska funktionerna får olika lösningar.

Den här GeoGebra appen visar hur de olika lösningarna uppkommer. Lek med denna tills dess ni har koll på hur det funkar!


GeoGebra Appar
Ma4-1.3 Trigonometriska Ekvationer

Lös 1406-1410,1410b,1411,1414b,1415b och ev. 1419b,1420.

Ekvationer som omformas med formler (sid 38-39)

Det finns egentligen inga genvägar för att bli bekväm och bra på att hantera trigonometriska ekvationer. Det är erfarenhet och att ha koll på trigonometriska omskrivningar som förbättrar framgångsprocenten!

Lös 1424bc,1425,1426 och ev. några av 1428-1433 efter behov
Extra övningar i mån av tid: Sid.46 - 3,4,8,12. Sid.48 - 11,18a,20