1.1 Trigonometri och trianglar

Enhetscirkeln och trianglar (sid 8-10)

Inget nytt här, ni bör känna igen er från de tidigare kurserna. Om inte, repetera de grundläggande trigonometriska funktionerna $\sin$, $\cos$ och $\tan$!

GeoGebra:
  Enhetscirkeln I
Trig functions vs Geometry definitions
Unit Circle - exact values

Bra övningsuppgifter
Sid.10: 1103-1106
1108-1110
1111

1.2 Trigonometriska formler

Enhetscirkel och formler (sid 12-14)

Här känner ni också igen er tror jag. Öva er på hur enhetscirkeln fungerar, kom ihåg att man ALLTID utgår från positiv x-axel och moturs räknas som positiv riktning medan medurs som negativ riktning.

Har ni inte GeoGebra installerat på era datorer så gör det här och nu.
Passa också på att leka lite med enhetscirkeln och de tre grundläggande trigonometriska funktionerna i GeoGebra apparna nedan.

GeoGebra:
  Trigonometri och Enhetscirkeln

Bra övningsuppgifter
Sid.14: 1202-1206,
1207,1208,1210



Trigonometriska identiteter (sid 15-18)

Det finns en uppsjö av samband mellan olika trigonometriska uttryck. En del av dessa härleds direkt ur enhetscirkeln, övriga kan därefter härledas genom algebraiska manipulationer. Det första sambandet som brukar läras ut är den så kallade trigonometriska ettan, den ser ut såhär:

$ \sin^2 v + \cos ^2 v =1$

Som ni kommer ihåg avläses sinusvärdet på y-axeln och cosinus på x-axeln för en viss given vinkel $v$. Det är inte svårt att se den trigonometriska ettans likhet med pythagoras sats. Mycket riktigt bevisas denna sats också enklast med pythagoras sats. Den finns en övning i boken (1111) där detta bevis skall utföras.

GeoGebra:
  Trigonometriska ettan
Pythagorean Trigonometric Identity

Bra övningsuppgifter
Sid.17: 1214,1215a,1216b,1217,1218
1221ad,1224a,1225,1227,1229

1232,1234,1236



Addition- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 19-22)

Några viktiga och mycket användbara trigonometriska identiteterär de så kallade additionsformlerna. Dessa formler dyker upp både i matematik och fysik. Formlernas utseende är inget ni behöver lägga på minnet, vi har formelsamlingar till detta. Däremot kan det vara en bra algebraisk övning att härleda dem.

GeoGebra:
  Additionsformlerna I
Additionsformlerna II

Bra övningsuppgifter
Sid.22: 1239-1242,1243bc
1244,1245a,1246
1250,1252



Formler för dubbla vinkeln (sid 24-25)

Dessa är en direkt följd av additionsformlerna. Sätt $u=v$ i likheten

$\sin(u+v)=\sin u \cos v + \sin v \cos u$

Då får man formeln för dubbla vinkeln för sinus

$\sin 2u = \sin(u+u)= \sin u \cos u + \sin u \cos u= 2 \sin u \cos u$

På motsvarande sätt kan man härleda en formel för cosinus av dubbla vinkeln.

GeoGebra:
  The double angle formulae
Double angle formula from unit circle
Double Angle Proof Without Words
Double angle sine tracer

Bra övningsuppgifter
Sid.25: 1255-1258
1260,1262,1263

1265,1266a

1.3 Bevis och bevismetoder

Direkta bevis (sid 26-28)

En del i kursens centrala innehåll är "Olika bevismetoder inom matematiken" och även om bevis och bevisföring intar en central roll allmänt inom matematiken, så tillhör detta delavsnitt inte det viktigaste i kursen.

Bra övningsuppgifter
Sid.28: 1303,1304,1305,1308
1310,1311
Sid.31: 1316-1318,1320
1325
 

1.4 Trigonometriska ekvationer

Grundekvationer (sid 33-37)

De tre grundekvationerna är följande:

$\sin x =$ konstant
$\cos x =$ konstant
$\tan x =$ konstant

Precis som när ni löser exempelvis en vanlig linjär exvation $4x+4=8$ så är målet att frigöra $x$-et. Till en linjär ekvation finns endast en lösning. När det däremot handlar om de nya trigonometriska ekvationerna har man nu har oändligt många lösningar, vilket är en konsekvens av att nya lösningar genereras för varje varv man snurrar. När vi introducerat dessa funktioner har vi kopplat dem starkt till vinklar, detta för att ge en visuell geometrisk tolkning. Men teoretiskt behöver den obekanta variablen $x$, eller $v$ eller vad den nu kan ha för beteckning representera vad som helst. Alltså måste alla tänkbara värden på variabeln undersökas.

För att förstå hur det hänger ihop är enhetscirkeln åter igen central. Med hjälp av enhetscirkeln blir ekvationslösningen begriplig och man "ser" hur och varför de olika trigonometriska funktionerna får olika lösningar.

Dessa båda GeoGebra appar visar hur de olika lösningarna uppkommer. Lek med denna tills dess ni har koll på hur det funkar!

GeoGebra:
  Trigonometriska grundekvationer
  Enhetscirkeln och trig.fkn

Bra övningsuppgifter
Sid.37: 1405-1411
1414bc,1415,1416
1419ab,1420bc

Ekvationer som omformas med formler (sid 38-39)

Detta avsnitt är en fortsättning på avsnittet om trigonometriska identiteter. Där skulle man lära sig att känna igen den trigonometriska ettan, förklädd i olika skepnader. Här kan fler identiteter vara dolda och det gäller att känna igen mönster och att komma ihåg NOLLPRODUKTREGELN. Det finns inga egentliga genvägar för att bli bekväm och bra på att hantera trigonometriska ekvationer. Det är erfarenhet och att ha koll på trigonometriska omskrivningar som förbättrar framgångsprocenten!

Bra övningsuppgifter
Sid.39: 1424bc,1425ab,1426
1428a,1429,1431,1432
1434
Sid.46: 3,4
8,12
15
Sid.48: 11,18a,20
23