1.1 Trigonometri och enhetscirkeln
Inget nytt här, ni bör känna igen er från de tidigare kurserna. Om inte, repetera de grundläggande trigonometriska funktionerna $\sin$, $\cos$ och $\tan$!
Repetition av trigonometri (sid 10-11)
Teori börjar på sidan 10 och tillhörande övningsuppgifter finns på sidan 11.
| Övningsuppgifter sidan 11 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1102 | 1103 | 1104 | 1105 | 1106 | 1107 | ||||
Enhetscirkeln (sid 12-15)
Här känner ni också igen er tror jag. Öva er på hur enhetscirkeln fungerar, kom ihåg att man ALLTID utgår från positiv x-axel och moturs räknas som positiv riktning medan medurs som negativ riktning. Passa också på att leka lite med enhetscirkeln och de tre grundläggande trigonometriska funktionerna i GeoGebra apparna nedan.
| GeoGebra |
|---|
|
Enhetscirkeln I
Trig functions vs Geometry definitions Unit Circle - exact values Trigonometri och Enhetscirkeln |
| Övningsuppgifter sidan 14-15 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1110 | 1111 | 1112 | 1113 | 1114 | 1115 | 1116 | 1117 | 1118 | 1119 |
| 1120 | 1121 | 1122 | 1123 | 1124 | |||||
Trigonometriska ekvationer (sid 16-19)
De tre grundekvationerna är följande:
$\sin x =$ konstant
$\cos x =$ konstant
$\tan x =$ konstant
Precis som när ni löser exempelvis en vanlig linjär exvation $4x+4=8$ så är målet att frigöra $x$-et. Till en linjär ekvation finns endast en lösning. När det däremot handlar om de nya trigonometriska ekvationerna har man nu har oändligt många lösningar, vilket är en konsekvens av att nya lösningar genereras för varje varv man snurrar. När vi introducerat dessa funktioner har vi kopplat dem starkt till vinklar, detta för att ge en visuell geometrisk tolkning. Men teoretiskt behöver den obekanta variablen $x$, eller $v$ eller vad den nu kan ha för beteckning representera vad som helst. Alltså måste alla tänkbara värden på variabeln undersökas.
För att förstå hur det hänger ihop är enhetscirkeln åter igen central. Med hjälp av enhetscirkeln blir ekvationslösningen begriplig och man "ser" hur och varför de olika trigonometriska funktionerna får olika lösningar.
Dessa båda GeoGebra appar visar hur de olika lösningarna uppkommer. Lek med denna tills dess ni har koll på hur det funkar!
| Övningsuppgifter sidan 17-19 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1129 | 1130 | 1131 | 1132 | 1133 | 1134 | 1135 | 1136 | 1137 | |
| 1138 | 1139 | 1140 | 1141 | 1142 | 1143 | 1144 | 1145 | ||
Enhetscirkeln - symmetrier och exakta värden (sid 20-24)
Fjärde delavsnittet i 1.1 startar på sidan 20 och övningarna finns på sidan 22-24.
| Övningsuppgifter sidan 22-24 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1148 | 1149 | 1150 | 1151 | 1152 | 1153 | 1154 | 1155 | 1156 | |
| 1157 | 1158 | 1159 | 1160 | 1161 | 1162 | ||||
1.2 Trigonometriska formler
Här samlas de centrala trigonometriska sambanden: trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformler, dubbla vinkeln samt ekvationer och formler.
Trigonometriska ettan (sid 25-28)
Det finns en uppsjö av samband mellan olika trigonometriska uttryck. En del av dessa härleds direkt ur enhetscirkeln, övriga kan därefter härledas genom algebraiska manipulationer. Det första sambandet som brukar läras ut är den så kallade trigonometriska ettan, den ser ut såhär:
$ \sin^2 v + \cos ^2 v =1$
Som ni kommer ihåg avläses sinusvärdet på y-axeln och cosinus på x-axeln för en viss given vinkel $v$. Det är inte svårt att se den trigonometriska ettans likhet med pythagoras sats. Mycket riktigt bevisas denna sats också enklast med pythagoras sats. Den finns en övning i boken (1111) där detta bevis skall utföras.
| Övningsuppgifter sidan 25-28 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1206 | 1207 | 1208 | 1209 | 1210 | 1211 | 1212 | 1213 | 1214 | 1215 |
| 1216 | 1217 | 1218 | 1219 | 1220 | 1221 | 1222 | 1223 | 1224 | |
Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 29-31)
Några viktiga och mycket användbara trigonometriska identiteterär de så kallade additionsformlerna. Dessa formler dyker upp både i matematik och fysik. Formlernas utseende är inget ni behöver lägga på minnet, vi har formelsamlingar till detta. Däremot kan det vara en bra algebraisk övning att härleda dem.
| Övningsuppgifter sidan 30-31 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1227 | 1228 | 1229 | 1230 | 1231 | 1232 | 1233 | 1234 | 1235 | 1236 |
| 1237 | 1238 | 1239 | 1240 | 1241 | 1242 | 1243 | |||
Formler för dubbla vinkeln (sid 33-34)
Dessa är en direkt följd av additionsformlerna. Sätt $u=v$ i likheten
$\sin(u+v)=\sin u \cos v + \sin v \cos u$
Då får man formeln för dubbla vinkeln för sinus
$\sin 2u = \sin(u+u)= \sin u \cos u + \sin u \cos u= 2 \sin u \cos u$
På motsvarande sätt kan man härleda en formel för cosinus av dubbla vinkeln.
| Övningsuppgifter sidan 34 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1245 | 1246 | 1247 | 1248 | 1249 | 1250 | 1251 | 1252 | 1253 | 1254 |
| 1255 | 1256 | 1257 | 1258 | 1259 | 1260 | 1261 | 1262 | ||
Ekvationer och formler (sid 35-37)
Detta avsnitt är en fortsättning på avsnittet om trigonometriska identiteter. Där skulle man lära sig att
känna igen den trigonometriska ettan, förklädd i olika skepnader. Här kan fler identiteter vara dolda och
det gäller att känna igen mönster och att komma ihåg NOLLPRODUKTREGELN
.
Det finns inga egentliga genvägar för att bli bekväm och bra på att hantera trigonometriska ekvationer.
Det är erfarenhet och att ha koll på trigonometriska omskrivningar som förbättrar framgångsprocenten!
| Övningsuppgifter sidan 36-37 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1268 | 1269 | 1270 | 1271 | 1272 | 1273 | 1274 | 1275 | 1276 | 1277 |
| 1278 | 1279 | ||||||||
1.3 Trigonometriska funktioner
Kapitel 1 fortsätter med sinus-, cosinus- och tangensfunktioner samt hur trigonometriska funktioner kan beskriva och modellera periodiska förlopp.
Sinus- och cosinusfunktioner (sid 39-43)
Delavsnittet startar på sidan 39 och uppgifterna finns på sidan 40-43.
| Övningsuppgifter sidan 40-43 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1303 | 1304 | 1305 | 1306 | 1307 | 1308 | 1309 | 1310 | ||
| 1311 | 1312 | 1313 | 1314 | 1315 | 1316 | ||||
Trigonometriska ekvationer och digitala verktyg (sid 44-45)
Detta delavsnitt har uppgifter på sidan 44-45.
| Övningsuppgifter sidan 44-45 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1319 | 1320 | 1321 | 1322 | 1323 | 1324 | 1325 | 1326 | ||
| 1327 | 1328 | 1329 | 1330 | ||||||
Förskjutna kurvor (sid 47-50)
Efter aktivitetssidan fortsätter teorin på sidan 47 med uppgifter på sidan 48-50.
| Övningsuppgifter sidan 48-50 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1334 | 1335 | 1336 | 1337 | 1338 | 1339 | 1340 | 1341 | 1342 | 1343 |
| 1344 | 1345 | 1346 | 1347 | 1348 | 1349 | 1350 | 1351 | 1352 | 1353 |
| 1354 | |||||||||
Kurvan y = a sin x + b cos x (sid 51-53)
Flash-spel: Öppna Wave Rider på separat sida.
Johans spel: Öppna "Jakten på den perfekta kurvan på en separat sida".
| Övningsuppgifter sidan 52-53 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1356 | 1357 | 1358 | 1359 | 1360 | 1361 | 1362 | 1363 | 1364 | 1365 |
| 1366 | 1367 | 1368 | |||||||
Tangensfunktioner (sid 54-56)
Avslutningen på avsnitt 1.3 har uppgifter på sidan 55-56.
| Övningsuppgifter sidan 55-56 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1370 | 1371 | 1372 | 1373 | 1374 | 1375 | 1376 | 1377 | 1378 | 1379 |
| 1380 | 1381 | 1382 | 1383 | 1384 | |||||
1.4 Radianer
På samma sätt som vi mäter exempelvis längd i olika enheter kan vi mäta vinklar i olika enheter, det är inget konstigt med det. I Sverige använder vi numera i princip alltid SI-enheter för längd, dvs. meter (m) och centimeter (cm) osv. I England/USA kör man fortfarande med yards (0.9144 meter) och inch (2.54 cm). Detta är egentligen inget problem, det är bara lite extra jobb att omvandla fram och tillbaka mellan enheterna. På samma sätt är det med de båda vinkelenheterna grader och radianer.
Definitionen av en radian är den vinkel som spänns upp i en cirkel då bågens längd är lika stor som radiens längd. Se animering nedan!
Att omvandla mellan grader och radianer är enkelt. Exempelvis ur animeringen ovan vet man att i varv i en cirkel har 360$^{\circ}$ eller $2\pi$ radianer.
Ett varv $=$ 360$^{\circ}=2\pi$ radianer. Man har alltså att
1$^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745$ radianer.
1 radian $=\dfrac{180^{\circ}}{\pi} \approx 57.3^{\circ}$
OBS! Tänk på att ha era miniräknare korrekt inställda beroende på val av vinkelmått!
| GeoGebra |
|---|
|
DEG to RAD and RAD to DEG Illustrator
Radian Illustrator Circular functions |
Cirkelbågens längd står i direkt proportion till medlepunktvinkeln. Om medlepunktvinkeln $\theta$ i enhetscirkeln exempelvis är 47$^{\circ}$, då är längden $L$ av motsvarande cirkelbåge $2\pi \cdot \frac{47}{360}$ l.e (längd enheter).
Samma enkla resonemang gäller för arean av en cirkelsektor. Vi vet att arean av en cirkel är $A=\pi r^2$, så arean av en cirkelsektor blir då för samma medlepunktvinkeln som ovan $\pi r^2 \cdot \frac{47}{360}$ a.e (area enheter).
Om vinkeln $\theta$ istället mäts i radianer fås enligt samma resonemang:
$L=\dfrac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r=\theta\cdot r$
$A=\dfrac{\theta}{2\pi} \cdot \pi r^2=\dfrac{\theta r^2}{2}=\dfrac{L\cdot r}{2}$
| GeoGebra |
|---|
|
Arc Length and Sector Area
Arc Length and Area of a Sector |
Radianer och trigonometriska ekvationer (sid 57-61)
Teorin börjar på sidan 57 och övningsuppgifterna finns på sidan 58-61.
| Övningsuppgifter sidan 58-61 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1406 | 1407 | 1408 | 1409 | 1410 | 1411 | 1412 | 1413 | 1414 | 1415 |
| 1416 | 1417 | 1418 | 1419 | 1420 | 1421 | 1422 | 1423 | ||
Trigonometriska modeller (sid 62-65)
Det sista teoriavsnittet i kapitlet har övningsuppgifter på sidan 63-65.
| Övningsuppgifter sidan 63-65 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1426 | 1427 | 1428 | 1429 | 1430 | 1431 | 1432 | 1433 | 1434 | 1435 |
| 1436 | 1437 | 1438 | 1439 | 1440 | |||||
Sammanfattning och blandade övningar kapitel 1
Sammanfattning finns i boken på sidan 72-73. Nedan följer test och blandade övningar för kapitlet.
Kan du det här? (sid 74)
| Testa dig själv sidan 75 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | ||||||
Blandade övningar 1
| Blandade övningar UTAN digitala verktyg sidan 76-77 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | |
| Blandade övningar MED digitala verktyg sidan 78-79 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |
| 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | |