3.1 Integraler och areor
Primitiva funktioner (sid 150-153)
Från tidigare vet ni att en primitiv funktion brukar betecknas med versal. Exempelvis $F(x)$ har $f(x)$ som sin derivata, dvs. $F'(x)=f(x)$. Eftersom ni först fått lära er att derivera brukar det vara smidigt att helt enkelt "tänka baklänges".
"Funktionen jag söker skall bli det jag har om jag deriverar den sökta funktionen!"
Definition av integral
Integralen $A= \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\Delta x} \cdot f({x_i}) = \displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x= \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a)$ är ett tal
| GeoGebra |
|---|
|
Om Riemannsumman och integralen
Förhållandet mellan den primitiva funktionen $F(x)$ och integralen av $f(x)$ |
Experimentera med olika funktioner och notera speciellt att det alltså är funktionsvärdet till den primitiva funktionen $F(x)$ som motsvarar arean under kurvan $f(x)$ och x-axeln! Lek också med integrationsgränserna och se hur dessa påverkar integralens värde.
Bevis:
$\begin{aligned} F'(x)&=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\
&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\left ( \int_{a}^{x+h}f(t)dt-\int_{a}^{x} f(t)dt)\right )\\
&
=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)dt\\
&
=\lim_{h \rightarrow 0}f(c)=\lim_{c \rightarrow x}f(c)=f(x)\end{aligned}$
I första steget utnyttjas derivatans definition och i det andra definitionen av $F$ . I det tredje steget används räknelagar för integraler. I fjärde steget används medelvärdessatsen för integraler. I femte steget utnyttjas det faktum att $c$ ligger mellan $x$ och $x+h$, så då $h \rightarrow 0$ gäller att $c \rightarrow x$. Sista steget ges av att $f$ är kontinuerlig.
| Övningsuppgifter sidan 153 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3104 | 3105 | 3106 | 3107 | 3108 | 3109 | 3110 | 3111 | 3112 | 3113 |
| 3114 | 3115 | ||||||||
Integralberäkningar (sid 154-158)
Beviset för derivatan av en produkt, den såkallade produktregeln kan se ut såhär. Lite annorlunda jämfört med bokens bevis.
Sats: Om både $f(x)$ och $g(x)$ är deriverbara gäller för produkten av dessa att $y=f(x)\cdot g(x)$ $\Longrightarrow$ $y'=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.
Bevis:
$\small \begin{aligned} y'(x) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h)g(x+h) - f(x)g(x)}}{h} &&\text{Derivatans definition} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h)g(x+h) -f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}}{h} && \text{Trix med $f(x)g(x+h)$}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x + h)g(x+h) -f(x)g(x+h)}}{h}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\left( {\frac{{f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}}{{h}}} \right) && \text{Dela upp i bråk}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x + h) -f(x)}}{h}} g(x+h) \right) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\left(f(x) {\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}} \right) && \text{Bryt ut $g(x+h)$ & $f(x)$}\\ & = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) &&\text{Klart!} \end{aligned} $
| Övningsuppgifter sidan 157 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3118 | 3119 | 3120 | 3121 | 3122 | 3123 | 3124 | 3125 | 3126 | 3127 |
| 3128 | 3129 | 3130 | 3131 | 3132 | 3133 | 3134 | |||
Area under x-axeln (sid 159-162)
Om vi nu har en funktionen i form av en kvot av funktioner $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$. Hur skall vi derivera denna? Jo, då tar vi hjälp av kvotregeln.
$y'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
Men kvotregeln är egentligen överflödig. Det går alltid bra att använda produktregeln ï kombination med kedjeregeln enligt.
$\small y=f(x)(g(x))^{-1}$
$\small y'=f'(x)(g(x))^{-1} + f(x)\cdot (-1)(g(x))^{-2} \cdot g'(x)= \dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2}=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
Träna på dessa regler så att ni känner att ni behärskar dem.
| Övningsuppgifter sidan 161 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3137 | 3138 | 3139 | 3140 | 3141 | 3142 | 3143 | 3144 | 3145 | 3146 |
Arean mellan två kurvor (sid 163-167)
Arean mellan två kurvor $f$ och $g$ ges av integralen
$\int\limits_a^b {(f(x) - g(x))dx} $
| Övningsuppgifter sidan 165 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3149 | 3150 | 3151 | 3152 | 3153 | 3154 | 3155 | 3156 | 3157 | 3158 |
| 3159 | 3160 | 3161 | 3162 | 3163 | 3164 | ||||
3.2 Tillämpningar av integraler
Integraler och storheter (sid 168-173)
I detta avsnitt visas hur användbart integralbegreppet är inom ett brett spektrum av discipliner.
| Övningsuppgifter sidan 171 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3203 | 3204 | 3205 | 3206 | 3207 | 3208 | 3209 | 3210 | 3211 | 3212 |
| 3213 | 3214 | 3215 | 3216 | 3217 | |||||
Sannolikhetsfördelning (sid 174-181)
Normalfördelningen är ett exempel på en sannolikhetsfördelning, den är en viktig fördelning inom sannolikhetsteori och statistik. En normalfördelad variabel antar ofta värden som ligger nära medelvärdet $\mu$ och mycket sällan värden som har en stor avvikelse eller standardavvikelse $\sigma$, därav dess utseende.
Kurvans funktion kallas normalfördelningens täthetsfunktion $f(x)$ och det är en funktion som anger sannolikheten för att en variabel skall anta en visst värde.
$f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
En standardiserad normalfördelning har $\mu=0$ och $\sigma=1$. Dess täthetsfunktion kallas $\phi$ och ges av
$\phi(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\dfrac{x^2}{2}}$
GeoGebra har i vanlig ordning en massa bra resurser. Här hittar ni en interaktiv Probability Calculator (Sannolikhets beräknare).
| Övningsuppgifter sidan 178 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3220 | 3221 | 3222 | 3223 | 3224 | 3225 | 3226 | 3227 | 3228 | 3229 |
Rotationsvolymer (sid 182-190)
Skivmetoden (sid 165-170)
Integralberäkning kan också användas för att beräkna volymer av vissa symmetriska kroppar. Exakt samma princip som för beräkning av areor med hjälp av intregral kan användas. Dvs. att man skivar upp kroppen i det här fallet i små volymer och summerar dessa volymer över ett givet intervall. När antalet skivor ökar så minskar skivornas bredd mot noll och vi får en tvärsnittsarea. Det är funktionen för denna tvärsnittsarea som vi söker och som vi sedan integrerar över givet intervall, resultatet ges som volymen av rotationskroppen.
Vi kan dela upp skivmetoden i två delar. Antingen har vi rotation kring x-axeln eller rotation kring y-axeln. Vi får följande uttryck.
Rotation kring x-axeln |
Rotation kring y-axeln |
|---|---|
$V= \displaystyle \int_{x=a}^{x=b}\pi y^2 \text{d}x$ |
$V= \displaystyle \int_{y=a}^{y=b}\pi x^2 \text{d}y$ |
 |
 |
| Övningsuppgifter sidan 185 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3231 | 3232 | 3233 | 3234 | 3235 | 3236 | 3237 | 3238 | 3239 | 3240 |
| 3241 | 3242 | 3243 | 3244 | 3245 | 3246 | 3247 | 3248 | ||
Sammanfattning och blandade övningar kapitel 3
Sammanfattning finns i boken på sidan 191. Nedan följer test och blandade övningar för kapitel 3.
Kan du det här? (sid 192)
| Testa dig själv sidan 193 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Blandade övningar 3
| Blandade övningar 3 UTAN sidan 194 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Blandade övningar 3 MED sidan 195 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | ||
| Blandade övningar 1-3 UTAN sidan 196 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | ||||
| Blandade övningar 1-3 MED sidan 198 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
| 37 | 38 | ||||||||