2.1 Deriveringsregler I
Repetition från Ma3c. Läs igenom detta och öva upp handhavandet med de olika deriveringsreglerna.
Se till att ha koll på de generella deriveringsreglerna.
$D\left(k\cdot f(x)\right)=k\cdot f'(x)$
$D\left(f(x) \pm g(x)\right)=f'(x) \pm g'(x)$
Repetition (sid 82-85)
Teori startar på sidan 82 och övningsuppgifterna ligger på sidan 83-85.
| Övningsuppgifter sidan 83-85 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2103 | 2104 | 2105 | 2106 | 2107 | 2108 | 2109 | 2110 | 2111 | 2112 |
| 2113 | 2114 | 2115 | 2116 | 2117 | 2118 | ||||
Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ (sid 86-89)
Deriveringsreglerna för $\sin x$ och $\cos x$ är lätt att lära sig rent mekaniskt, men min förhoppning är att ni förvärvar en något djupare förståelse för varför det blir som det blir.
Att härleda derivatan till $\sin x$ och $\cos x$ kan göras på olika sätt beroende på vilka verktyg man har i sin matematiska verktygslåda! För gymnasie elever faller valet på derivatans definition, vilken ni bör vara bekanta med. Det räcker att härleda en av dessa, sedan kan man med hjälp av omskrivningar och kedjeregeln snabbt ta fram den andra.
Nyckeln till framgång ligger i att begripa följande så kallade standardgränsvärden.
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}=1 \quad \textrm{ och } \quad \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h -1}{h}=0\]
Att visa gränsvärdet för $\sin x/x$ tillhör den eftergymnasiala matematiken i exempelvis LTH-kursen endimensionell analys. Jonas Månsson har gjort en video där han härleder just detta gränsvärde. Den nyfikne studenten kan kolla här.
Nedan följer beviset för att $D_x \left({\sin x}\right) =\cos x$.
Om $f(x)=\sin x$ så ger derivatans definition att $\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0} \dfrac { f (x + h)- f(x)} h$ .
$ \begin{aligned} D_x \left({\sin x}\right) & = \lim_{h \to 0} \frac { \sin \left({x + h}\right) - \sin \left({x}\right) } h &&\quad\text{Har satt in aktuell funktion} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac { \sin \left({x}\right) \cos \left({h}\right) + \sin \left({h}\right) \cos \left({x}\right) - \sin \left({x}\right) } h &&\quad\text{Additionsformeln för $\sin(x+h)$} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac { \sin \left({x}\right) \left({\cos \left({h}\right) - 1}\right) + \sin \left({h}\right) \cos \left({x}\right) } h &&\quad\text{Faktorisering av $\sin x$}\\ & = \lim_{h \to 0} \frac { \sin \left({x}\right) \left({\cos \left({h}\right) - 1}\right) } h + \lim_{h \to 0} \frac { \sin \left({h}\right) \cos \left({x}\right) } h &&\quad\text{Skriv som två gränsvärden}\\ & = \sin \left({x}\right) \ \lim_{h \to 0} \frac {\cos \left({h}\right) - 1} h + \cos \left({x}\right) \lim_{h \to 0} \frac {\sin \left({h}\right)} h &&\quad\text{Använd standardgränsvärdena} \\ & = \sin \left({x}\right) \cdot 0 + \cos \left({x}\right) \cdot 1 \\ & = \cos \left({x}\right) &&\quad\text{Klart!} \end{aligned} $
Att sedan visa att $D_x \left({\cos x}\right) =-\sin x$ följer direkt ur komplementlagarna för sinus och cosinus.
\[\boxed{\color{red}{\displaystyle \cos x= \sin \left({\dfrac \pi 2 - x}\right) }} \quad \textrm{och} \quad \boxed{\color{red}{\displaystyle \cos \left({\dfrac \pi 2 - x}\right)=\sin x }}\]
$ \begin{aligned} D_x \left({\cos x}\right) & =D_x \sin \left({\frac \pi 2 - x}\right) && \quad\text{Komplementlagen} \\ & =\cos \left({\frac \pi 2 - x}\right) \cdot (-1) && \quad\text{Kedjeregeln och andra komplementlagen} \\ &=- \sin x && \quad\text{Klart!} \end{aligned} $
OBS! Derivatan av dessa trigonometriska funktioner blir endast såhär eleganta om man använder vinkelmåttet radianer!
Om man nu istället låter $x$ representera grader och vill beskriva sinus utifrån detta så får man $f(x) = \sin(\dfrac{\pi x}{180})$. Derivera $f(x)$ och med hjälp av kedjeregeln erhålls $f'(x) = \dfrac{\pi}{180} \cdot \cos(\dfrac{x \pi}{180})$ - därmed har man även derivatan uttryckt från $\cos$ som tar radianer som argument. Byter vi ut $\cos$ mot $\cos_d$ - cos degrees alltså - får vi $f'(x) = \dfrac{\pi}{180} \cdot \cos_d(x)$.
Tänk så här: Om vi deriverar sinus med avseende på radianer så får vi sinus förändringshastighet per radianer. Deriverar vi istället sinus med avseende på grader får vi dess förändringshastighet per grader. Eftersom det finns 360 grader och $2\pi$ radianer på ett varv i en cirkel kommer förändringen av sinus per grad vara mindre än förändringen av sinus per radian. $1^{\circ}$ är ju $\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745$ gånger mindre än en radian, därmed är även förändringshastigheten hos sinus $\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745$ gånger mindre då vi ger sinus ett argument i grader istället för radianer.
En formell räkning skulle kunna se ut såhär.
$\dfrac{d}{{dx}}{\sin_d }(x) = \dfrac{d}{{dx}}{\sin _{rad}}\left( {\dfrac{{\pi x}}{{180}}} \right) = \dfrac{\pi }{{180}}{\cos _{rad}}\left( {\dfrac{{\pi x}}{{180}}} \right) = \dfrac{\pi }{{180}}{\cos_d }\left( x \right) \approx 0.01745 \cos_d \left( x \right)$
Här har jag i samma graf ritat sinusfunktionen uttryckt i grader respektive radianer!
| GeoGebra |
|---|
| Derivatan av
sinusfunktionen med radianer Derivatan av sinusfunktionen med grader |
| Övningsuppgifter sidan 87-89 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2121 | 2122 | 2123 | 2125 | 2126 | 2127 | 2128 | 2129 | 2130 | 2131 |
| 2132 | 2133 | 2134 | 2135 | 2136 | 2137 | 2138 | 2139 | 2140 | |
Kedjeregeln (sid 90-95)
Jag visar kedjeregeln för sammansatta funktioner.
$ \begin{aligned} y'(x) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{y(x + h) - y(x)}}{h} &&\quad\text{Derivatans definition} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(g(x + h)) - f(g(x))}}{h} &&\quad\text{Förläng med $g(x+h)-g(x)$}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(g(x + h)) - f(g(x))}}{h}} \right) \cdot \left( {\frac{{g(x + h) - g(x)}}{{g(x + h) - g(x)}}} \right) \\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(g(x + h)) - f(g(x))}}{{g(x + h) - g(x)}}} \right) \cdot \left( {\frac{{g(x + h) - g(x)}}{h}} \right) &&\quad\text{Sätt $k=g(x+h)-g(x)$}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(g(x) + k) - f(g(x))}}{k}} \right) \cdot \left( {\frac{{g(x + h) - g(x)}}{h}} \right) &&\quad\text{då blir $g(x+h)=g(x)+k$} \\ & = f'(g(x)) \cdot g'(x) &&\quad\text{Även $k \to 0$ Klart!} \end{aligned} $
| GeoGebra |
|---|
| Genomgång av kedjeregeln med exempel |
| Övningsuppgifter sidan 91-95 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2144 | 2145 | 2146 | 2147 | 2148 | 2149 | 2150 | 2151 | 2152 | 2153 |
| 2154 | 2155 | 2156 | 2157 | 2158 | 2159 | 2160 | 2161 | ||
2.2 Deriveringsregler II
Här kommer produktregeln, kvotregeln, exponential- och logaritmfunktioners derivator samt differentialekvationer.
Derivatan av en produkt och en kvot (sid 96-99)
Beviset för derivatan av en produkt, den såkallade produktregeln kan se ut såhär. Lite annorlunda jämfört med bokens bevis.
Sats: Om både $f(x)$ och $g(x)$ är deriverbara gäller för produkten av dessa att $y=f(x)\cdot g(x)$ $\Longrightarrow$ $y'=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.
Bevis:
$\small \begin{aligned} y'(x) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h)g(x+h) - f(x)g(x)}}{h} &&\text{Derivatans definition} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h)g(x+h) -f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}}{h} && \text{Trix med $f(x)g(x+h)$}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x + h)g(x+h) -f(x)g(x+h)}}{h}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\left( {\frac{{f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}}{{h}}} \right) && \text{Dela upp i bråk}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x + h) -f(x)}}{h}} g(x+h) \right) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0}\left(f(x) {\frac{{g(x+h) - g(x)}}{{h}}} \right) && \text{Bryt ut $g(x+h)$ & $f(x)$}\\ & = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) &&\text{Klart!} \end{aligned} $
Om vi nu har en funktionen i form av en kvot av funktioner $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$. Hur skall vi derivera denna? Jo, då tar vi hjälp av kvotregeln.
$y'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
Men kvotregeln är egentligen överflödig. Det går alltid bra att använda produktregeln i kombination med kedjeregeln enligt.
$\small y=f(x)(g(x))^{-1}$
$\small y'=f'(x)(g(x))^{-1} + f(x)\cdot (-1)(g(x))^{-2} \cdot g'(x)= \dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2}=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
Träna på dessa regler så att ni känner att ni behärskar dem.
| Övningsuppgifter sidan 97-99 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2202 | 2203 | 2204 | 2205 | 2206 | 2207 | 2208 | 2209 | 2210 | 2211 |
| 2212 | 2213 | 2214 | 2215 | 2216 | 2217 | 2218 | 2219 | 2220 | 2221 |
Derivatan av exponentialfunktioner och logaritmfunktioner (sid 100-103)
Vi vet sedan tidigare att exponentialfunktionen med basen $e$ blir sin egen derivata, alltså om
$f(x)=e^x$
så blir derivatan också
$f'(x)=e^x$.
Men varför blir det så? Återigen kan vi få bättre förståelse för detta genom att utnyttja derivatans
definition.
$\small
\begin{aligned}
f'(x) &=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&&\text{Derivatans definition} \\
& = \lim_{h \to 0}\frac{ e^{(x+h)}- e^x}{h} && \text{Stoppa in funktionen}\\
& = e^x\cdot \lim_{h \to 0}\frac{ e^h-1}{h} && \text{Bryt ut $e^x$ och beräkna gränsvärdet!}\\
& =e^x \cdot \ln e = e^x &&\text{Klart!}
\end{aligned}
$
Här kan man börja ana att talet $e$ intar en särställning bland alla tal och då menar jag verkligen ALLA tal. För om vi hade haft en exponentialfunktion med någon annan bas, säg $a$ då hade ju det där gränsvärdet konvergerat mot ett tal $\neq$1 och vi hade fått en extra faktor framför derivatan och det är opraktiskt och absolut inte lika vackert!
Nu tar vi hjälp av GeoGebra igen och skall visualisera ovanstående, dvs. derivatan av den allmänna exponentialfunktionen
$f(x)=a^x$
Exponentialfunktion med basen $e$ har många andra intressanta egenskaper. Här illustreras en till.
Om vi nu går över till logaritmfunktionen istället kan vi först konstatera att den är inversen till exponentialfunktionen. Dvs. $e^x$ är invers till $\ln x$ och vice versa. Det innebär i vanliga ordalag att dessa funktioner tar ut varandra, som exempelvis om $f(x)=x^2$ och $g(x)=\sqrt{x}$. Då får man ju att $(\sqrt{x})^2 = x$ och på motsvarande sätt att $\sqrt{x^2} = x$. Åtminstone om $x \geq 0$ får väl tilläggas!
I praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom basen 10, som då skrivs log$_{10}$, används även talet $e$ (2.71828...). Logaritmer med basen $e$ kallas naturliga logaritmer och skrivs $\ln$ i stället för log$_e$.
Vidare, en funktion och dess invers har en del intressanta egenskaper som vi kan utnyttja här. Det finns en matematisk sats som heter inversa funktionssatsen. Denna sats bevisar att om en funktions derivata existerar och är skild från noll på ett visst intervall så är också dess invers deriverbar på ett motsvarande intervall. Satsen ger oss också verktyg för att ta fram denna derivata med hjälp av kedjeregeln. Och det här är precis vad vi behöver nu när vi vill derivera $\ln x$. $\ln x$ är ju inversen till $e^x$ och $e^x$ vet vi att vi kan derivera och alltså bör också inversen $\ln x$ gå att derivera!
Så hur kan detta göras? Först kan ni kolla på denna GeoGebra konstruktion som indikerar hur derivatan bör se ut! Den visar på förhållandet mellan tangentens lutning och tillhörande x-värde!
Det teoretiska resonemanget illustrerar jag med några exempel.
Kalla våra motsats funktioner för $f$ och $g$ och använd kedjeregeln enligt följande.
Exempel 1: Om $f(x)=x^2$ och $g(x)=\sqrt{x}$ så ger kedjeregeln följande.
$\small
\begin{aligned}
f(g(x))&=\left(\sqrt{x}\right)^2=x &&\text{Kedjeregeln} \\
D\left(f(g(x))\right)&=f'(g(x))\cdot g'(x)=2\sqrt{x} \cdot g'(x)=D(x)=1 &&\text{Derivera båda sidor}\\
g'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} && \text{Klart!}\\
\end{aligned}
$
Exempel 2: Om $f(x)=e^x$ och $g(x)=\ln x$ så ger kedjeregeln följande.
$\small
\begin{aligned}
f(g(x))&=e^{\ln x}=x &&\text{Kedjeregeln} \\
D\left(f(g(x))\right)&=f'(g(x))\cdot g'(x)=e^{\ln x} \cdot g'(x)=D(x)=1 &&\text{Derivera båda sidor}\\
g'(x)&=\dfrac{1}{e^{\ln x}}=\dfrac{1}{x} && \text{Klart!}\\
\end{aligned}
$
Exempel 3: Om $f(x)=\sin x$ och $g(x)=\arcsin x$ så ger kedjeregeln följande.
$\small
\begin{aligned}
f(g(x))&=\sin(\arcsin x)=x &&\text{Kedjeregeln} \\
D\left(f(g(x))\right)&=f'(g(x))\cdot g'(x)=\cos(\arcsin x) \cdot g'(x)=D(x)=1 &&\text{Derivera båda sidor}
\\
g'(x)&=\dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} &&
\text{Klart!} \boxed{\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}}\\
\end{aligned}
$
Med hjälp av kedjeregeln och lite trix kan man även derivera funktionen $x^x$. Om ni läser lite mer matematik på universitet eller högskola så kommer ni få nya kraftfulla verktyg för att hantera bl.a. klurigare derivator. Vår kedjeregel har en motsvarighet inom flervariabelanalysen, om man exempelvis här bildar funktionen $g(y,z) = y^z$ av 2 variabler så kan man skriva $x^x = g(h(x),h(x))$, där $h(x) = x$. Man kan sedan använda kedjeregeln för funktioner av två variabler för att utföra derivationen. Men nu har vi inte tillgång till dessa verktyg ännu och blir därför hänvisade till envariabeltrix!
Exempel 4: Derivera $f(x)=x^x$.
$\small
\begin{aligned}
f(x)&=x^x=(e^{\ln x})^x=e^{x\ln x}&&\text{Omskrivning med log-lagarna} \\
D\left(e^{x\ln x}\right)&=e^{x\ln x}\cdot (\ln x +1)=x^x\cdot (\ln x +1) &&\text{Klart efter omskrivning.}
\\
\end{aligned}
$
| Övningsuppgifter sidan 101-103 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2224 | 2225 | 2226 | 2227 | 2228 | 2229 | 2230 | 2231 | 2232 | 2233 |
| 2234 | 2235 | 2236 | 2237 | 2238 | 2239 | 2240 | 2241 | ||
Begreppet differentialekvation (sid 104-105)
| Övningsuppgifter sidan 105 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2243 | 2244 | 2245 | 2246 | 2247 | 2248 | 2249 | 2250 | 2251 | 2252 |
Differentialekvationer och matematiska modeller (sid 106-107)
| Övningsuppgifter sidan 106-107 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2255 | 2256 | 2257 | 2258 | 2259 | 2260 | 2261 | |||
2.3 Tillämpningar av deriveringsreglerna
Derivatorna används nu för att analysera grafer, optimera och modellera förändringar i olika sammanhang.
Derivator och grafer (sid 108-112)
| Övningsuppgifter sidan 109-112 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2303 | 2304 | 2305 | 2306 | 2307 | 2308 | 2309 | 2310 | 2311 | 2312 |
| 2313 | 2314 | 2315 | 2316 | 2317 | 2318 | 2319 | 2320 | 2321 | |
Derivator och tillämpningar (sid 113-116)
| Övningsuppgifter sidan 115 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2324 | 2325 | 2326 | 2327 | 2328 | 2329 | 2330 | 2331 | 2332 | 2333 |
| 2334 | |||||||||
Tillämpningar med kedjeregeln (sid 117-121)
Kommer ni ihåg uppgiften på fysikprovet om stenen som kastades i en damm. I den övningen så var givet att radien växte med 30 cm per sekund. Man kan då fråga sig hur mycket växer arean av cirklen vid en viss radie! Detta är en typ av problem som återigen kan lösas med hjälp av kedjeregeln. Börja med att sätta upp ett uttryck för arean som funktion av radien.
$A(r)=\pi r^2$
Eftersom radien nu växer med tiden så måste vi i sin tur behandla radien som en funktion av tiden.
$r=r(t)$
Vår fråga i detta fall är ju hur arean växer med tiden, så funktionen för arean skall alltså deriveras med avseende på tiden och inte enbart med avseende på radien. Vi söker alltså derivatan till
$A\left(r(t)\right)=\pi r(t)^2$
$A'\left(r(t)\right)=A'\left(r(t)\right)\cdot r'(t)=2\pi r(t)\cdot r'(t)$
där $r'(t)$ enligt förutsättningarna är 30 cm/s. Boken använder noteringen
$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\cdot \dfrac{dr}{dt}$
där $r'(t)=\dfrac{dr}{dt}$ är den hastighet som radien växer med, dvs. 30 cm per sekund i vår uppgift! Så om vi nu vill veta hur mycket arean av cirkeln växer vid exempelvis $r=3$m. fås
$A'\left(r(t)\right)=2\pi\cdot 3\cdot 0.3=5.7$m$^2$/s.
| Övningsuppgifter sidan 120 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2338 | 2339 | 2340 | 2341 | 2342 | 2343 | 2344 | 2345 | 2346 | 2347 |
| 2348 | 2349 | 2350 | 2351 | ||||||
2.4 Skissa grafer
Avslutningen på kapitlet handlar om dominerande term, asymptoter, grafskisser och absolutbeloppet som funktion.
Dominerande term (sid 125-128)
| Övningsuppgifter sidan 127 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2403 | 2404 | 2405 | 2406 | 2407 | 2408 | 2409 | 2410 | 2411 | 2412 |
| 2413 | 2414 | ||||||||
Asymptoter (sid 129-132)
Asymptoter är bra att utnyttja när man ska skissa utseendet hos en graf. Vad man gör är att man undersöker vad som händer med funktionen för stora värden på $x$. Titta exempelvis på grafen till $y=1/x$, den har två asymptoter, nämligen x-axeln som grafen närmar sig då $\left| {x} \right|$ är stort och y-axeln som grafen närmar sig då $\left| {x} \right|$ är litet. Tips är alltså att leta efter asymptoter i punkter där funktionen inte är definierade och "långt bort" längs x-axeln.
| Övningsuppgifter sidan 131 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2418 | 2419 | 2420 | 2421 | 2422 | 2423 | 2424 | 2425 | 2426 | 2427 |
| 2428 | 2429 | 2430 | 2431 | 2432 | |||||
Skissa grafer med hjälp av derivata och asymptoter (sid 133-136)
| Övningsuppgifter sidan 134-136 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2435 | 2436 | 2437 | 2438 | 2439 | 2440 | 2441 | 2442 | 2443 | 2444 |
| 2445 | 2446 | 2447 | 2448 | ||||||
Absolutbeloppet som funktion (sid 137-140)
| Övningsuppgifter sidan 139 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2452 | 2453 | 2454 | 2455 | 2456 | 2457 | 2458 | 2459 | 2460 | |
Sammanfattning och blandade övningar kapitel 2
Sammanfattning finns i boken på sidan 141. Nedan följer test och blandade övningar för kapitel 2.
Kan du det här? (sid 142)
| Testa dig själv sidan 143 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | ||
Blandade övningar 2
| Blandade övningar UTAN 2 sidan 144 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | ||||
| Blandade övningar MED 1 sidan 145 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |
| Blandade övningar UTAN 1-2 sidan 146 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | ||||
| Blandade övningar MED 1-2 sidan 147 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |