4.1 Inledning

Grundläggande begrepp (sid 176-179)

En differentialekvationer kan sägas vara ett "samband" mellan en funktion och dess derivator. Att lösa differentialekvationen innebär att finna samtliga funktioner som uppfyller "sambandet". Ofta kan detta vara svårt att göra exakt, men i vissa enkla fall (som behandlas i denna kurs) är det möjligt.

Lösningen till en differentialekvation är alltså en funktion, att jämföra med lösningen till en vanlig ekvation, som ju är ett tal.

Man pratar också om allmän lösning och partikulärlösning. Skillnaden ligger i att den allmänna lösningen omfattar en skara av lösningsfunktioner medan partikulärlösningen är en specifik funktion. Denna uppdelning kommer sig av att vi erhåller en obestämd konstant vid framtagandet av den primitiva funktionen. Om vi däremot även har så kallade begynnelsevillkor till vår differentialekvation kan dessa konstanter bestämmas och vi får en partikulärlösning!

Differentialekvationer och primitiva funktioner (sid 180-181)

Den enklaste differentialekvation är av typen

$y'=f(x)$

där vi alltså söker alla funktioner vars derivata är $f(x)$. I tidigare kurser har vi lärt oss att lösa detta problem genom att integrera $f(x)$ och lösningen blir alltså samtliga primitiva funktioner till $f(x)$

$y(x)=F(x)+C$

Övningsuppgifter sidan 181
4103 4104 4105 4106 4107 4108 4109 4110 4111 4112
4113                  


Verifiering av en lösning (sid 182-183)

Inte heller detta bör vålla några större problem, förutsatt att man kan sina deriveringsregler. Man får förslag på lösningar till olika differentialekvationer och ska visa om de duger eller i vissa fall bestämma konstanter så de stämmer. Detta gör man genom att helt enklet derivera förslaget och sätta in i ekvationen.

Övningsuppgifter sidan 183
4117 4118 4118 4120 4121 4122 4123 4124 4125 4126
4127 4128 4129 4130            


4.2 Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationen $y'+ay=0$ (sid 184-187)

Dessa differentialekvationer har (efter eventuell omskrivning) utseendet

$y'+ay=0$

Ekavtionen är homogen eftersom det står noll i högerledet när alla termer med y och dess derivator flyttats till vänsterledet. Den är av första ordningen eftersom det förekommer förstaderivator men inga högre derivator. (Den är dessutom linjär och med konstanta koefficienter vilket boken underlåter att berätta.) Genom derivering och insättning inser man att alla funktioner på formen

$\begin{equation} y=Ce^{-ax} \end{equation}$

löser differentialekvationen. Detta är också samtliga lösningar vilket boken reder ut på sida 185. En sak som möjligen kan vålla problem bland uppgifterna är beteckningarna. I t.ex. uppgift 4207 minns man att

$\begin{align} \dfrac{dP}{dt} = P'(t)=P' \end{align}$

Sedan får man förstå att det inte är någon skillnad (matematiskt) om funktion heter P(t) eller y(x).

Om man förutom själva differentialekvationen har ett "villkor", dvs man känner till ett värde på y eller kanske y', så kan detta användas för att bestämma en entydig lösningsfunktion till differentialekvationen. Notera lösningsgången, först bestämmer man samtliga lösningar och sedan använder man villkoret för att "välja ut" en av dessa.

Övningsuppgifter sidan 186
4203 4204 4205 4206 4207 4208 4209 4210 4211 4212
4213 4214 4215              


Den inhomogena ekvationen $y'+ay=f(x)$ (sid 188-190)

Differentialekvationer av typen där $f(x)$ skild från noll kallas för inhomogena.

Övningsuppgifter sidan 190
4217 4218 4219 4220 4221 4222 4223 4224 4225 4226
4227 4228                


Riktningsfält (sid 192-197)

Lösningarna till en differentialekvationer kan åskådliggöras med ett så kallat riktningsfält..

Övningsuppgifter sidan 193
4230 4231 4232 4233 4234 4235 4236 4237 4238 4239
4240 4241 4242 4243 4244          


4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer

Enkla förändringsmodeller (sid 198-199)

Lösningarna till en differentialekvationer kan åskådliggöras med ett så kallat riktningsfält..

Övningsuppgifter sidan 199
4302 4303 4304 4305 4306          


Blandningsproblem (sid 200)

Lösningarna till en differentialekvationer kan åskådliggöras med ett så kallat riktningsfält..

Övningsuppgifter sidan 201
4308 4309 4310 4311 4312 4313 4314      


Avsvalning (sid 202)

Vi studerar kort Newton's avsvalningslag

Övningsuppgifter sidan 202
4316 4317 4318 4319            


Fritt fall med luftmotstånd (sid 203)

Uppgifter där kraftekvationen har fått ett tillägg i form av en dämpande term.

Övningsuppgifter sidan 203
4321 4322 4323 4324            


Tillväxt med begränsningar (sid 204-205)

Mycket intressanta problem där bland annat den logistiska funktionen kort tas upp.

Övningsuppgifter sidan 205
4326 4327 4328 4329            


Lösning med digitala verktyg (sid 206-207)

Här tar vi hjälp av GeoGebra/Desmot eller liknande för ta oss an uppgifterrna.

Övningsuppgifter sidan 208
4331 4332 4333 4334 4335 4336 4337 4338 4339 4340
4341                  


Diagnos 4 och Blandade övningar kapitel 4

Diagnos 4 sidan 213
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12                

Blandade övningar Kapitel 4 UTAN räknare sidan 214
1 2 3 4 5 6 7 8 9  

Blandade övningar Kapitel 4 MED räknare sidan 215
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23            

Blandade övningar kapitel 1-4

Blandade övningar Kapitel 1-4 UTAN räknare sidan 218
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23              

Blandade övningar Kapitel 1-4 MED räknare sidan 220
24 25 26 26 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
44 45 46 47 48 49 50 51 52 53