Extrauppgifter i Matematik!
Här kommer att finnas diverse extrauppgifter till de olika gymnasiekurserna Ma1c, Ma2c, Ma3c, Ma4, Ma5 och
i Linjär Algebra. Men även en del utmaningar som kanske ligger utanför gymnasiekurserna men som absolut kan
angripas av den intresserade studenten.
Du kan filtrera uppgifter efter Kurs, Moment, Taggar och Nivå. Använd filtreringsalternativen ovan och
klicka på "Filtrera" för att visa relevanta uppgifter.
I nuläget är detta i sin linda, men uppgifter kommer att fyllas på allt eftersom och i mån av tid.
Lycka till med matematiken!
| alg-101 | Lös ekvationen$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{\dfrac{x}{3}+\dfrac{2x}{5}}{\dfrac{x+2}{3}}=\dfrac{11}{15}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=1$ |
||||||||||
| alg-102 | Lös ekvationen$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$5^x\cdot 5^{2x}=\dfrac{1}{25}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=-\dfrac{2}{3}$ |
||||||||||
| alg-103 | Lös ekvationen$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$4\cdot 3^x + 5\cdot 3^x = 3^{12}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=10$ |
||||||||||
| alg-104 | Beräkna värdet på $a$ i ekvationen nedan.$\textbf{(1/1/0)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{8}{15}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$a=5$ |
||||||||||
| alg-105 | Lös ekvationen$\textbf{(0/2/1)}$ | |||||||||
| $$-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2x-1}{3}-2x\right)-5\Bigg(\dfrac{2+x-1}{3}-\dfrac{2+3x}{5}-\left(\dfrac{1}{5}-2x\right)\Bigg)=5x-2-2(10-3x)$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{212}{169}$ |
||||||||||
| alg-106 | Lös ekvationen$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{x+2}{6}-\left(\dfrac{11-x}{3}-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{3x-4}{12}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=11$ |
||||||||||
| alg-107 | Lös ekvationen$\textbf{(0/1/1)}$ | |||||||||
| $$11\cdot 2^x - 3\cdot 2^x=2^{27}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=24$ |
||||||||||
| alg-108 | Visa att$\textbf{(0/1/1)}$ | |||||||||
| $$\sqrt{\frac{x}{\sqrt{x}}}=\sqrt[12]{x^3}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Med potenslagarna inses att båda sidor i likheten kan skrivas som $x^{1/4}.$ |
||||||||||
| alg-109 | Lös potensekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$5^x+5^x+5^x+5^x+5^x=625^{x-1}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{5}{3}$ |
||||||||||
| alg-110 | Lös potensekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{27^{900}}{9^{2700}}=3^x$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=-2\,700$ |
||||||||||
| alg-111 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$2^{-x+3}=16^{2x+4}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$-\dfrac{13}{9}$ |
||||||||||
| alg-112 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$2^{1994}+4^{997}+8^{665}=16^x$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=499$ |
||||||||||
| alg-113 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$4^{2x-2}\cdot 4^{-4x+1}=\dfrac{1}{16}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{1}{2}$ |
||||||||||
| alg-114 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$4^x=2^{4x+5}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=-\dfrac{5}{2}$ |
||||||||||
| alg-115 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$\sqrt[3]{x^2}\cdot \sqrt[3]{x^2}\cdot \sqrt[3]{x^2}=81$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=\pm 9$ |
||||||||||
| alg-116 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{x^{\frac{7}{2}}+x^{\frac{7}{2}}+x^{\frac{7}{2}}+x^{\frac{7}{2}}+x^{\frac{7}{2}}}{x\sqrt{x}}=125$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=\pm 5$ |
||||||||||
| alg-117 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/1)}$ | |||||||||
| $$2^{4x+5}=32$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=0$ |
||||||||||
| alg-118 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/1)}$ | |||||||||
| $$2^{4x-3!}=\dfrac{1}{64}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=0$ |
||||||||||
| alg-119 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$\left(x^2-5x+5\right)^{\left(x^2-11x+30\right)}=1$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=\{1,2,3,4,5,6\}$ Tänk potenslagen $a^0=1$, även $1^x=1$ och hur är det med $(-1)^x$? |
||||||||||
| alg-120 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
| $$9^{8^{3+2x}}=3^{2^{7x-4}}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Börja med att skriva om baserna. Vi kan skriva 9 som $3^2$ och vi får då $$\begin{align*} (3^2)^{8^{3+2x}} = 3^{2^{7x-4}} \end{align*}$$ Använd sedan potenslagen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ och vi får $$\begin{equation*} 3^{2 \cdot 8^{3+2x}} = 3^{2^{7x-4}} \end{equation*}$$ Eftersom baserna nu är samma kan vi sätta exponenterna lika $$\begin{equation*} 2 \cdot 8^{3+2x} = 2^{7x-4} \end{equation*}$$ Dividera båda sidor med 2 $$\begin{equation*} 8^{3+2x} = 2^{7x-5} \end{equation*}$$ Skriv om $8$ som $2^3$: $$\begin{equation*} (2^3)^{3+2x} = 2^{7x-5} \end{equation*}$$ Använd potenslagen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ $$\begin{equation*} 2^{3(3+2x)} = 2^{7x-5} \end{equation*}$$ Eftersom baserna är samma kan vi sätta exponenterna lika $$\begin{align*} 3(3+2x) &= 7x - 5 \\ 9 + 6x &= 7x - 5 \\ x &= 14 \end{align*}$$ |
||||||||||
| alg-121 | Lös ekvationen$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
| $$\left\lvert x-1\right\rvert - 3 = \left\lvert x+3\right\rvert$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=-\dfrac{5}{2}$ |
||||||||||
| alg-122 | Lös ekvationen$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\left\lvert x+2\right\rvert = 5$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=3$ och $x=-7$ |
||||||||||
| alg-123 | Förenkla uttrycket$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$(3x+5)^2-(3x-5)^2$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$60x$ |
||||||||||
| alg-124 | Förenkla uttrycket$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$xy+xy\left(xy-x\right)-6\left(\dfrac{x^2y}{3}-y\right)-xy$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x^2y^2-3x^2y+6y$ |
||||||||||
| alg-125 | Förenkla uttrycket$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{(x-1)(x-2)\left(x^2-9x+14\right)}{(x-7)\left(x^2-3x+2\right)}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$(x-2)$ |
||||||||||
| alg-126 | Förenkla uttrycket så långt som möjligt.$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$2{,}25x-\left(2x\left(\dfrac x2-4\right)-3\left(\dfrac x6-\dfrac x4\right)\right)$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$10x-x^2$ |
||||||||||
| alg-127 | Förenkla uttrycket$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\sqrt[3]{\dfrac{4y\cdot 3y\cdot 2y}{3-3(2-9)}}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$y$ |
||||||||||
| alg-128 | Förenkla uttrycket$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{4b^2-8b}{4b}-\dfrac{5b^3-10b^2}{5b}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$3b-b^2-2$ |
||||||||||
| alg-129 | Förenkla uttrycket så långt som möjligt.$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\left(x+1+\sqrt{2x+1}\right)\left(x+1-\sqrt{2x+1}\right)$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x^2$ |
||||||||||
| alg-130 | Förenkla uttrycket så långt som möjligt.$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\left(\dfrac{1}{16^{-\frac{1}{4}}}+\dfrac{5}{16^{-\frac{1}{4}}}\right)^2$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$144$ |
||||||||||
| alg-131 | Förenkla uttrycket så långt som möjligt.$\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-(x+3)}{2}$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\sqrt{3x}$ |
||||||||||
| alg-132 | Förenkla uttrycket så långt som möjligt.$\textbf{(0/1/1)}$ | |||||||||
| $$\dfrac{2x^{2z}-8}{\big((x^z+2)(x^z-2)\big)^3}\cdot \left(x^{2z}-4\right)^2$$ | ||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$2$ |
||||||||||
| f-101 | Bestäm $a$ om du vet att$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$a=2$ |
||||||||||
| f-102 | Funktionerna $f(x)$ och $g(x)$ är givna.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$a=1$ |
||||||||||
| f-103 | För en funktion $f$ där $f(x)=kx+m$ gäller att$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$f(x)=4x+7$ |
||||||||||
| f-104 | För en rät linje $y=f(x)$ gäller att$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$f(x)=3x+5$ |
||||||||||
| pbl-101 | Johans bror är dubbelt så gammal som Johan. Om siffrorna i broderns ålder skrivs
baklänges får man deras $\textbf{(0/2/0)}$ mors ålder. Johans mamma och pappa är lika gamla och pappan fyllde 35 år för 6 år sedan! Hur gammal är Johan? |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Pappan var 35 för ett sex sedan, så nu är han 41, mamma är lika gammal,
alltså 41 (fyra och etta). Johans bror är då 14 (etta och fyra) och Johan själv hälften så gammal, alltså 7 år. |
||||||||||
| pbl-102 | En fylld marmeladburk väger 800g. Om burken är halvfylld med marmelad väger den
480g. $\textbf{(0/2/0)}$ Hur mycket väger burken? |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Den väger 160 g. 800-480=320g, dvs halva mängden marmelad väger 320g. Då väger all marmelad 640g. 800 - 640 = 160g, burken väger alltså 160g. |
||||||||||
| pbl-103 | Jag är ett fyrsiffrigt positivt heltal och alla mina siffror är olika. $\textbf{(0/0/3)}$ När mina siffror skrivs i omvänd ordning så är det nya talet exakt fyra gånger större än jag själv. Vilket tal är jag? |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
2178. Kalla det fyrsiffriga talet för abcd! Eftersom även det omvända talet, dcba, också kommer att ha fyra siffror måste talet abcd ligga mellan 1000 och 2499, alltså a är 1 eller 2. Men a måste vara jämn eftersom det är det omvända talets sista siffra och det talet är ju delbart med 4 alltså är a = 2. Talet är alltså är minst 2000, dcba är då minst 8000 alltså d kan bara vara 8 eller 9. Men talets sista siffra d kan inte vara 9 eftersom 4*9 = 36 skulle då det omvända talet börja på en 6:a och det har vi ju redan konstaterat att a = 2. Nu vet vi att a = 2 och d = 8, därmed 2bc8 * 4 = 8cb2 dvs. (2008 + 10 * bc) * 4 = 8002 + 10 * cb Med lite algebra får vi 3 + bc * 4 = cb , alltså b kan inte vara större än 2 . Men 3 + bc * 4 är ett udda tal, alltså cb är udda, alltså b är udda alltså b=1. Nu har vi 3 + 1c * 4 = c1 vilket betyder 3 + (10 + c ) * 4 = 10 * c + 1 och med lite algebra igen får vi c = 7. Nu vet jag allt om dig 2178. Det stämmer att alla dina siffror är olika. Jag behövde inte använda den upplysningen. |
||||||||||
| pbl-104 | Två barn äter två skumtomtar på två minuter. Hur lång tid tar det för fem barn att äta
fem skumtomtar?$\textbf{(0/1/0)}$ |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
2 minuter. I första fallet kan man komma fram till att det tar två minuter för ett barn att äta upp en skumtomte. I andra fallet delar fem barn på fem skumtomtar, alltså en var. Det tar också två minuter. |
||||||||||
| pbl-105 | En gröt ska koka i 15 min. Men du har bara två timglas som mäter upp 7 respektive 11
minuter. $\textbf{(0/1/1)}$ Timglasen ska starta samtidigt, hur ska du gå tillväga för att mäta tiden? |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Starta båda timglasen samtidigt, men gröten låter du vara än så länge. Låt gröten börja koka när timglaset som mäter sju min blir tomt. När timglaset som mäter 11 min blir tomt, vänd det. Gröten är klar när timglaset som mäter 11 min blir tomt igen. |
||||||||||
| geo-201 | Hur stor andel av arean hos kvadraten täcks av triangeln? Svara i enklaste bråkform. $\textbf{(0/0/1)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{4}{9}$ |
||||||||||
| geo-202 | Två cirklar får precis plats i en rektangel. Hur många procent tomrum är det i
rektangeln?$\textbf{(0/1/1)}$ För full poäng krävs en tydligt redovisad generell lösning. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
21,5% |
||||||||||
| geo-203 | Bestäm längden på sidan $x$. Svara exakt! $\textbf{(0/2/0)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=\dfrac{9}{5}$ |
||||||||||
| geo-204 | Två satelliter, $S_1$ och $S_2$, kretsar runt jorden i cirkulära banor. Bortser man från
månens gravitation$\textbf{(0/0/2)}$ kan $S_1$ befinna sig i en omloppsbana 320 km ovanför jordens mitt och $S_2$ 220 000 km ovanför mittpunkten. Vid vissa tidpunkter bildas en rät vinkel mellan satelliterna och solens yta. |
|||||||||
 Bestäm avståndet mellan
solens yta och jorden. Svara i miljoner km och avrunda till två gällande siffror. |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
150 miljoner km. ($151\,250\,000$ km exakt) |
||||||||||
| geo-205 | Bestäm vinkeln $x$. $\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=22^\circ$ |
||||||||||
| geo-206 | Två kongruenta cirklar är inskrivna i en kvadrat enligt figuren. Hur stor$\textbf{(0/0/2)}$ andel av kvadratens area utgörs av de båda cirklarnas area? |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{\pi}{3+2\sqrt{2}}\approx 0{,}539$ |
||||||||||
| geo-207 | Hur stor del av den stora cirkeln är skuggad? $\textbf{(0/0/2)}$ |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{\pi-1}{2\pi}\approx 0{,}341$ |
||||||||||
| geo-208 | Figuren nedan visar en cirkel och en rätvinklig triangel. Cirkelns radie$\textbf{(0/1/1)}$ är lika lång som triangelns höjd. Om cirkeln skulle rulla ett varv så skulle sträckan motsvara triangelns bas. Pythagoras påstod att cirkelns area och triangelns area alltid är lika stora. Visa att hans påstående stämmer Figuren är ej skalenligt ritad. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-209 | Bilden nedan visar en glasskål som har formen av ett halvt klot. I skålen ligger det en
kula. $\textbf{(0/0/3)}$  Kulan är så hög att den precis når upp till skålens kant. Se figur nedan. |
|||||||||
 Om man fyller skålen med vatten, samtidigt som kulan ligger kvar, så får det plats 144 cm$^3$ vatten. Bestäm kulans radie. |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$r\approx 2{,}25\text{ cm}$ |
||||||||||
| geo-210 | Fyra kvartscirklar ritas mellan kvadratens hörn enligt figuren. $\textbf{(0/0/4)}$ Bestäm den skuggade areans andel av kvadraten. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Den skuggade andelen är $1-\dfrac{\pi}{3}-\sqrt{3}\approx 0{,}315$ |
||||||||||
| geo-211 | Bestäm den blåa areans storlek. Måtten i cm. $\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Den blåa arean är 267 cm$^2$ |
||||||||||
| geo-212 | Bestäm den skuggade areans andel av triangeln. $\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$18\sqrt{3}-6\pi\approx 12{,}327$ |
||||||||||
| geo-213 | En röd cirkel är inskriven i en kvartscirkel med radien 1 cm.$\textbf{(0/0/3)}$ Bestäm radien $r$ för den inskrivna röda cirkeln. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$r=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\approx 0,414$ cm |
||||||||||
| geo-214 | Två kvartscirklar är inskrivna i en tredje större kvartscirkel.$\textbf{(0/0/4)}$ Bestäm arean av den skuggade minsta kvartscirkeln. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{\pi}{4}(\sqrt{2}-1)^2=\dfrac{\pi}{4}(3-2\sqrt{2})\approx 0{,}134$ cm$^2$ |
||||||||||
| geo-215 | Bestäm ett exakt uttryck för den skuggade arean. $\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{\pi}{3}\left(4\sqrt{3}-2\right)\approx 5{,}161$ cm$^2$ |
||||||||||
| geo-216 | Tre kvadrater är inskrivna ovanpå varandra i en liksidig triangel.$\textbf{(0/0/3)}$ Den minsta kvadraten har sidlängden 1 cm. Beräkna triangelns sidlängd. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$s=\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^3\approx 10{,}00$ cm |
||||||||||
| geo-217 | Bestäm den skuggade arean $\textbf{(0/1/0)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Av symmetriskäl inses att den skuggade arean är lika stor som den vita delen, alltså är den skuggade arean 8 cm$^2$. |
||||||||||
| geo-218 | Bestäm den gröna arean $\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Den gröna kvadratens area är 36 cm$^2$ |
||||||||||
| geo-219 | Bestäm arean av hela triangeln $\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
Arean är 144 cm$^2$ |
||||||||||
| geo-220 | Bestäm längden av sträckan $x$. $\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$x=12$ cm |
||||||||||
| geo-221 | I figuren nedan ritas tre cirkelsektorer med centrum som hörnen på en liksidig triangel, beräkna det skuggade området $\textbf{(0/0/3)}$ |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$4\sqrt{3}-2\pi\approx 0{,}646$ cm$^2$ |
||||||||||
| geo-222 | Bestäm den blåa cirkelns area $\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$r=\dfrac{15}{4}$ cm $\Rightarrow A=\pi r^2=\dfrac{225\pi}{16}\approx 44{,}18$ cm$^2$ |
||||||||||
| geo-223 | Beräkna den minsta triangelns längsta sida. $\textbf{(0/1/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\approx 16{,}9$ m |
||||||||||
| geo-224 | I figuren nedan har man ritat en halvcirkel med radien $r$. Bestäm radiens längd. $\textbf{(0/1/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$r=\dfrac{4{,}9}{\cos 52^\circ}\approx 8$ cm (7,9589) |
||||||||||
| geo-225 | Bestäm ett uttryck för arean av cirkelsektorn. $\textbf{(0/1/1)}$ |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
$\dfrac{\pi r^2}{12}$ |
||||||||||
| geo-226 | Två stegar är placerade på motsatta diagonaler i en gränd så att en stege når 6m upp
på den ena väggen $\textbf{(0/0/3)}$ och den andra når 4m upp på den motsatta väggen. De skär varandra $h$ m över marken. Bestäm höjden $h$. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-227 | Bestäm längden av den blåa omkretsen.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-228 | När Ivan ska hälsa på sin mormor behöver han gå över ett berg som är 20 km brett och
vars bergssidor $\textbf{(0/0/3)}$ har vinkel $30^{\circ}$ och $45^{\circ}$ mot plan mark (se bild nedan). Hur mycket längre måste Ivan gå om han går över berget än om han hade kunnat gå rakt igenom berget? Svara i hela kilometer. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-229 | Bestäm arean av den skuggade delen i kvadraten.$\textbf{(0/0/4)}$ Ledtråd: (Two-Tangent Theorem) När två segment ritas som tangent till en cirkel från samma punkt utanför cirkeln, är segmenten lika långa. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-230 | En enhetscirkel är placerad mot en rät vinkel, se figuren. Hur stor är radien av den
lilla cirkeln?$\textbf{(0/0/2)}$ Ange ett exakt svar! |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-231 | I triangeln nedan är en bisektris dragen. Beräkna längden av sträckan $x$.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-232 | Bestäm arean av den grönskuggade cirkeln.$\textbf{(0/0/4)}$ Ledtråd: Rita återigen rätvinkliga trianglar och använd Pythagoras lite klurigt. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-233 | I kvadraten finns en röd rektangel. Bestäm arean av den röda
rektangeln.$\textbf{(0/0/4)}$ Ledtråd: Rita återigen rätvinkliga trianglar och använd Pythagoras lite klurigt. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-234 | Bestäm den skuggade areans andel av kvadraten.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-235 | En triangel som har sina hörn på en cirkel och sin längsta sida som cirkelns diameter är
alltid rätvinklig. $\textbf{(0/1/2)}$ Den här uppgiften går ut på att undersöka trianglar av den här typen och som också uppfyller att den ena kateten alltid är lika lång som radien. Se exempel i figuren. I en sådan triangel kommer längden på den andra kateten (låt oss kalla den $y$) att vara direkt proportionell mot cirkelns radie $r$. Det gäller alltså att $y=k\cdot r$. Bestäm värdet på proportionalitetskonstanten $k$ exakt. Generell lösning krävs för full poäng. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-236 | Man hugger av det ena hörnet av en kub vid sidornas mitt, enligt figuren.$\textbf{(0/1/2)}$ Bestäm arean av basytan till den borthuggna biten. Svara exakt. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-237 | I den rätvinkliga triangeln $\triangle$ABC nedan har lika långa sidor markerats. Visa att $z=90^{\circ}-3v$.$\textbf{(0/1/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-238 | Vilken diameter har avloppsröret? (Ej skalenligt!)$\textbf{(0/1/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-239 | En regelbunden femhörning är inskriven i en cirkel med radien 8,0 cm. Beräkna femhörningens area.$\textbf{(0/1/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-240 | Visa att arean av det gröna området är lika stort som arean av de blå områdena tillsammans.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-241 | Rymddiagonalen i en kub är $D=40$ l.e. Beräkna kubens sidlängd $a$.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-242 | Bestäm den skuggade arean.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-243 | CD är parallell med AB och CD har längden 32 cm. Beräkna den gulmarkerade arean.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-244 | Bestäm den blåa arean.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-245 | Beräkna den gulmarkerade arean.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-246 | Bestäm med hjälp av rektangeln i figuren storleken på den röda vinkeln $\alpha$ och ett exakt värde på $\tan \alpha$.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-247 | Bestäm den rosaskuggade areans andel av kvadratens totala area.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-248 | Den omslutande cirkeln har radien 10 cm, även cirkelbågarna har alla radien 10 cm. Bestäm den lila arean.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-249 | Visa att rektangeln och kvadraten har samma area. Detta är känt som rektangelns kvadratur.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-250 | Två cirklar är inskrivna i en rektangel. Bestäm vinkeln $\alpha$.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-251 | En likbent triangel har topvinkeln $20^{\circ}$. Bestäm vinkeln $\alpha$.$\textbf{(0/0/4)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-252 | Diametern av den inskrivna halvcirkeln är lika med kvartscirkelns radie. $\textbf{(0/0/3)}$ Skärningen mellan radien och halvcirkeln delar radien på hälften. Bestäm ett exakt uttryck för den gula arean. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-253 | Två halvcirklar är inskrivna i en kvartscirkeln med radien 6 cm, bestäm den markerade arean exakt.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-254 | Tre kongruenta liksidiga trianglar placeras efter varandra enligt figuren.$\textbf{(0/0/3)}$ Bestäm förhållandet mellan sträckorna BC och AD. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-255 | Medelpunkterna för de respektive halvcirklarna är markerade. Bestäm kvoten $\dfrac{\color{red}r}{\color{blue}R}$, mellan halvcirklarnas radier.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-256 | Två halvcirklar är inskrivna i en likbent rätvinklig triangel. Bestäm förhållandet mellan halvcirklarnas radier.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-257 | Bestäm längden av den röda kordan som är gemensam för både cirkeln och semicirkeln.$\textbf{(0/0/4)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-258 | Diametern av den inskrivna halvcirkeln är lika med kvartscirkelns radie.$\textbf{(0/0/3)}$ Den gula och den gröna arean är lika stora. Bestäm vinkeln $\alpha$. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-259 | Tre kongruenta liksidiga trianglar placeras efter varandra enligt figuren. Bestäm den skuggade arean.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-260 | Bestäm arean av kvadraten.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-261 | En cirkel är inskriven i en halvcirkel och tangerar vid de utmärkta punkterna. Bestäm ett uttryck för cirkelns radie i $a$ och $b$.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-262 | Triangeln $ABC$ är inskriven i en cirkel med medelpunkten $M$. Sträckan $AC$ är lika
lång som cirkelns$\textbf{(0/0/3)}$ radie. Vinkeln $BAC=40^{\circ}$, se figur. Bestäm vinkeln $v$. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-263 | $\triangle\textrm{ABC}$ är likbent med vinklarna enligt figuren. Bestäm vinkeln
$x$.$\textbf{(0/0/4)}$ Problemet är känt som Langley's Adventitious Angles eller Langley€™s 80-80-20 triangle problem och publicerades först av Edward Mann Langley 1922 i The Mathematical Gazette. |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-264 | I figuren visas en cirkel med $M$ som medelpunkt. Bestäm vinklarna i fyrhörningen.$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-265 | I figuren nedan är triangeln $BCD$ inskriven i en cirkel där $M$ är medelpunkt. Bestäm
vinkel $y$ i figuren om $x=135^{\circ}$. $\textbf{(0/1/2)}$ Visa också att följande samband gäller för vinklarna, $y=x-90^{\circ}$ |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-266 | I figuren nedan är $AC$ en diameter till cirkeln med medelpunkten $M$.$\textbf{(0/1/2)}$ Punkterna $D$ och $B$ ligger på randen till samma cirkel. Visa att $y=90+x$ |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-267 | Två halvcirklar med radie $a$ och $b$ ligger på varsin sida om en rät linje som bilden
visar. $\textbf{(0/0/3)}$ Den större halvcirkelns area är tre gånger så stor som den mindre halvcirkelns area. Sträckan $AP$ (den raka sträckan mellan $A$ och $P$) är lika med den stora cirkelns radie. Visa att längden på den raka sträckan $BP$ är lika med $3b$ |
|||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-268 | Bestäm vinkeln $x$$\textbf{(0/0/2)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-269 | Bestäm radien $r$ på den röda inskrivna cirkeln$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-270 | I en kvadrat finns en grön triangel. Beräkna den gröna triangelns area.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-271 | Visa att $\textbf{(0/0/3)}$ \begin{equation*} \dfrac{a}{b} + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2 = 3 \end{equation*} | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-272 | Bestäm längden av sträckan $x$. Svara exakt. Problemet är hämtat från en matematikolympiad.$\textbf{(0/0/4)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-273 | Bestäm längden av sträckan $x$. Svara exakt.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-274 | Den övre delen av en parabel är inskriven i en hexagon. Bestäm exakt den skuggade areans andel av hexagonen.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| geo-275 | Bestäm längden av sträckan $x$ i rektangeln nedan. Svara exakt.$\textbf{(0/0/3)}$ | |||||||||
 |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
| im-501 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{1}^{2} \dfrac{x^4+2}{x^3}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{9}{4}$ |
||||||||||||
| im-502 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} (2x+1)\ln(x+1)\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$2\ln 2-\dfrac{1}{2}$ |
||||||||||||
| im-503 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} \dfrac{\arctan x}{1+x^2}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\pi^2}{32}$ |
||||||||||||
| im-504 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{-1}^{1} (1-2x)e^{-2x}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$e^2+e^{-2}$ |
||||||||||||
| im-505 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi} \sin^2x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\pi}{2}$ |
||||||||||||
| im-506 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{8}{17}$ |
||||||||||||
| im-507 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} \arctan x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{1}{4}\left(\pi-\lg 4\right)$ |
||||||||||||
| im-508 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^4 x \cdot \sin^3 x\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{2}{35}$ |
||||||||||||
| im-509 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{1}^{3} \dfrac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{3\ln 3}{5}$ |
||||||||||||
| im-510 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{2}^{3} \dfrac{x^3+x}{x^2-1}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{5}{2}+\ln\left(\dfrac{8}{3}\right)$ |
||||||||||||
| im-511 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi/2} x^2 \cos x\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{1}{4}\left(\pi^2-8\right)$ |
||||||||||||
| im-512 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi/2} e^{-x}\sin 2x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{2}{5}\left(1+e^{-\pi/2}\right)$ |
||||||||||||
| im-513 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x^3}{\left(x^2+1\right)^3} \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{1}{16}$ |
||||||||||||
| im-514 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{2}^{3} \dfrac{\text{d}x}{x^2+3x+2}$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\ln\left(\dfrac{16}{15}\right)$ |
||||||||||||
| im-515 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{3}^{5} \dfrac{x}{x^2-3x+2} \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\ln\left(\dfrac{9}{2}\right)$ |
||||||||||||
| im-516 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x^3}{(x^2-4)^2} \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\dfrac{1}{6}$ |
||||||||||||
| im-517 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi/3} \tan^3x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{3}{2}-\ln 2$ |
||||||||||||
| im-518 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin x\cdot \sin 2x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{2}{3}$ |
||||||||||||
| im-519 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi} \sin^3x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{4}{3}$ |
||||||||||||
| im-520 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi} \sin^4x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{3\pi}{8}$ |
||||||||||||
| im-521 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} e^x \cos (\pi x)\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$-\left(\dfrac{1+e}{1+\pi^2}\right)$ |
||||||||||||
| im-522 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{1}^{2} \dfrac{5x^2+20x+6}{x^3+2x^2+x}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{3}{2}+\ln\left(\dfrac{128}{3}\right)$ |
||||||||||||
| im-523 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{1}^{2} \dfrac{x+4}{x(x^2+1)}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\ln\left(\dfrac{64}{25}\right)+\arctan (2)-\dfrac{\pi}{4}$ |
||||||||||||
| im-524 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{3}^{9} x\ln(x-1)\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$116\ln 2-21$ |
||||||||||||
| im-525 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} x\arctan x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{1}{4}\left(\pi-2\right)$ |
||||||||||||
| im-526 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{\pi^2} \sin \left(\sqrt{x}\right) \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$2\pi$ |
||||||||||||
| im-527 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1/2} \arcsin x\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$ |
||||||||||||
| im-528 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} \dfrac{2x+1}{x^2+1}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\pi}{4}+\ln 2$ |
||||||||||||
| im-529 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{2} \dfrac{x-1}{x^2+4} \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\ln 2}{2}-\dfrac{\pi}{8}$ |
||||||||||||
| im-530 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{5} \sqrt{3x+1}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$14$ |
||||||||||||
| im-531 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{2}^{4} \dfrac{x}{x^3-3x+2} \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{2}{9}\left(1+\ln 2\right)$ |
||||||||||||
| im-532 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{2}^{3} \dfrac{x^3+3x}{x^3-x^2-x+1} \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$2+\ln 3$ |
||||||||||||
| im-533 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3} \tan^4x \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{8+\pi}{12}$ |
||||||||||||
| im-534 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{\pi/3}^{\pi/2} \dfrac{\text{d}x}{\sin x} $$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\ln 3}{2}$ |
||||||||||||
| im-535 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{5} \dfrac{x+1}{x^2+2x+5}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\ln 8}{2}$ |
||||||||||||
| im-536 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x+2}{x^2+2x+2}\, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)+\arctan 2-\dfrac{\pi}{4}$ |
||||||||||||
| im-537 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{-2}^{0} \dfrac{x^4-x^2-4x+6}{x^3-2x-4} \, \text{d}x$$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$-2-\pi-\ln 2$ |
||||||||||||
| im-538 | Beräkna integralens värde. | |||||||||||
| $$\int\limits_{\pi/3}^{\pi/2} \dfrac{\text{d}x}{\sin x} $$ | ||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
$\dfrac{\ln 3}{2}$ |
||||||||||||