1.1 Trigonometri och trianglar
Enhetscirkeln och trianglar (sid 8-10)
Inget nytt här, ni bör känna igen er från de tidigare kurserna. Om inte, repetera de grundläggande trigonometriska funktionerna $\sin$, $\cos$ och $\tan$!
| GeoGebra: | |
| Enhetscirkeln I Trig functions vs Geometry definitions Unit Circle - exact values |
|
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||
1.2 Trigonometriska formler
Enhetscirkel och formler (sid 12-14)
Här känner ni också igen er tror jag. Öva er på hur enhetscirkeln fungerar, kom ihåg att man ALLTID utgår från positiv x-axel och moturs räknas som positiv riktning medan medurs som negativ riktning.
Har ni inte GeoGebra installerat på era datorer så gör det här och nu.
Passa också på att leka lite med enhetscirkeln och de tre grundläggande trigonometriska funktionerna i GeoGebra apparna nedan.
| GeoGebra: | |
| Trigonometri och Enhetscirkeln | |
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||
Trigonometriska identiteter (sid 15-18)
Det finns en uppsjö av samband mellan olika trigonometriska uttryck. En del av dessa härleds direkt ur enhetscirkeln, övriga kan därefter härledas genom algebraiska manipulationer. Det första sambandet som brukar läras ut är den så kallade trigonometriska ettan, den ser ut såhär:
$ \sin^2 v + \cos ^2 v =1$
Som ni kommer ihåg avläses sinusvärdet på y-axeln och cosinus på x-axeln för en viss given vinkel $v$. Det är inte svårt att se den trigonometriska ettans likhet med pythagoras sats. Mycket riktigt bevisas denna sats också enklast med pythagoras sats. Den finns en övning i boken (1111) där detta bevis skall utföras.
| GeoGebra: | |
| Trigonometriska ettan Pythagorean Trigonometric Identity |
|
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||
Addition- och subtraktionsformler för sinus och cosinus (sid 19-22)
Några viktiga och mycket användbara trigonometriska identiteterär de så kallade additionsformlerna. Dessa formler dyker upp både i matematik och fysik. Formlernas utseende är inget ni behöver lägga på minnet, vi har formelsamlingar till detta. Däremot kan det vara en bra algebraisk övning att härleda dem.
| GeoGebra: | |
| Additionsformlerna I
Additionsformlerna II |
|
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||
Formler för dubbla vinkeln (sid 24-25)
Dessa är en direkt följd av additionsformlerna. Sätt $u=v$ i likheten
$\sin(u+v)=\sin u \cos v + \sin v \cos u$
Då får man formeln för dubbla vinkeln för sinus
$\sin 2u = \sin(u+u)= \sin u \cos u + \sin u \cos u= 2 \sin u \cos u$
På motsvarande sätt kan man härleda en formel för cosinus av dubbla vinkeln.
| GeoGebra: | |
| The double angle formulae Double angle formula from unit circle Double Angle Proof Without Words Double angle sine tracer |
|
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||
1.3 Bevis och bevismetoder
Direkta bevis (sid 26-28)
En del i kursens centrala innehåll är "Olika bevismetoder inom matematiken" och även om bevis och bevisföring intar en central roll allmänt inom matematiken, så tillhör detta delavsnitt inte det viktigaste i kursen.
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||
1.4 Trigonometriska ekvationer
Grundekvationer (sid 33-37)
De tre grundekvationerna är följande:
$\sin x =$ konstant
$\cos x =$ konstant
$\tan x =$ konstant
Precis som när ni löser exempelvis en vanlig linjär exvation $4x+4=8$ så är målet att frigöra $x$-et. Till en linjär ekvation finns endast en lösning. När det däremot handlar om de nya trigonometriska ekvationerna har man nu har oändligt många lösningar, vilket är en konsekvens av att nya lösningar genereras för varje varv man snurrar. När vi introducerat dessa funktioner har vi kopplat dem starkt till vinklar, detta för att ge en visuell geometrisk tolkning. Men teoretiskt behöver den obekanta variablen $x$, eller $v$ eller vad den nu kan ha för beteckning representera vad som helst. Alltså måste alla tänkbara värden på variabeln undersökas.
För att förstå hur det hänger ihop är enhetscirkeln åter igen central. Med hjälp av enhetscirkeln blir ekvationslösningen begriplig och man "ser" hur och varför de olika trigonometriska funktionerna får olika lösningar.
Dessa båda GeoGebra appar visar hur de olika lösningarna uppkommer. Lek med denna tills dess ni har koll på hur det funkar!
| GeoGebra: | |
| Trigonometriska grundekvationer | |
| Enhetscirkeln och trig.fkn | |
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||
Ekvationer som omformas med formler (sid 38-39)
Detta avsnitt är en fortsättning på avsnittet om trigonometriska identiteter. Där skulle man lära sig att känna igen den trigonometriska ettan, förklädd i olika skepnader. Här kan fler identiteter vara dolda och det gäller att känna igen mönster och att komma ihåg NOLLPRODUKTREGELN.
Det finns inga egentliga genvägar för att bli bekväm och bra på att hantera trigonometriska ekvationer. Det är erfarenhet och att ha koll på trigonometriska omskrivningar som förbättrar framgångsprocenten!
| Övningsuppgifter sidan 17 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
| 111 | |||||||||